forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2018, 04:57

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Κυρτά σώματα και θεωρία αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μαρ 2007, 10:11 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3027
Σκοπός αυτού του θέματος είναι να δούμε (με την ησυχία μας) κάποιες διασυνδέσεις της θεωρίας των κυρτών σωμάτων με την θεωρία αριθμών.

Θεώρημα [Καραθεοδωρής, 1907] Έστω [tex]S[/tex] μη κενό υποσύνολο του [tex]{\mathbb R}^n[/tex]. Για κάθε [tex]z\in {\rm conv}(S)[/tex] υπάρχουν [tex] y_1,\ldots ,y_{n+1}\in S[/tex] και [tex]t_i\geq 0[/tex] με [tex]t_1+\cdots +t_{n+1}=1[/tex] ώστε [tex]z=t_1y_1+\cdots +t_{n+1}y_{n+1}[/tex].

Πώς αποδεικνύεται;

Θεώρημα 1. Έστω [tex]k[/tex] και [tex]n[/tex] δύο φυσικοί αριθμοί. Υπάρχουν [tex]u_1,\ldots ,u_m\in {\mathbb R}^n[/tex] που ικανοποιούν το εξής: για κάθε [tex]x\in {\mathbb R}^n[/tex], [tex]\| x\|_2^{2k}=\sum_{i=1}^m\langle u_i,x\rangle^{2k}[/tex]. Δηλαδή, η [tex]k[/tex]-οστή δύναμη του αθροίσματος των τετραγώνων [tex]n[/tex] πραγματικών μεταβλητών είναι ένα άθροισμα [tex](2k)[/tex]-δυνάμεων κατάλληλων γραμμικών μορφών των μεταβλητών.

Ορολογία. Θεωρούμε τον γραμμικό χώρο [tex]H_{2k,n}[/tex] των ομογενών πολυωνύμων [tex]p(x)=p(\xi_1,\ldots ,\xi_n)[/tex] με [tex]n[/tex] μεταβλητές, που έχουν βαθμό [tex]2k[/tex]. Μια βάση του [tex]H_{2k,n}[/tex] είναι το σύνολο των πολυωνύμων [tex]e_{\alpha }(x)=\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_n^{\alpha_n}[/tex], όπου [tex]\alpha =(\alpha_i)_{i\leq n}[/tex], [tex]\alpha_i\in {\mathbb Z}^{+}[/tex], [tex]\alpha_1+\cdots +\alpha_n=2k[/tex]. Έτσι, μπορούμε να ταυτίσουμε τον [tex]H_{2k,n}[/tex] με τον [tex]{\mathbb R}^d[/tex], όπου [tex]d={n+2k-1\choose 2k}[/tex]. Κάθε [tex]p\in H_{2k,n}[/tex] γράφεται μονοσήμαντα στη μορφή [tex]p(x)=\sum t_{\alpha }(p)e_{\alpha }(x)[/tex], οπότε ταυτίζουμε το [tex]p[/tex] με την ακολουθία [tex]t(p)=(t_{\alpha }(p))\in {\mathbb R}^d[/tex]. Παρατηρήστε ότι αν [tex]p_m,p\in H_{2k,n}[/tex] τότε [tex]t(p_m)\to t(p)[/tex] στον [tex]{\mathbb R}^d[/tex] αν και μόνο αν [tex]p_m\to p[/tex] ομοιόμορφα στην [tex]S^{n-1}[/tex].

Έστω [tex]U:{\mathbb R}^n\to {\mathbb R}^n[/tex] ένας ορθογώνιος μετασχηματισμός. Δηλαδή, [tex]\langle Ux, Uy\rangle =\langle x,y\rangle [/tex] για κάθε [tex]x,y\in {\mathbb R}^n[/tex] (ισοδύναμα, [tex]U^tU=Id[/tex] όπου [tex]U^t[/tex] ο "ανάστροφος" του [tex]U[/tex]). Για κάθε [tex]p\in H_{2k,n}[/tex] συμβολίζουμε με [tex]U(p)[/tex] το πολυώνυμο [tex]q[/tex] που ορίζεται από την [tex]q(x)=p(U^{-1}x)=p(U^tx)[/tex] Παρατηρούμε ότι:

1. Το [tex]q=U(p)[/tex] είναι κι αυτό ομογενές πολυώνυμο: [tex]U(p)\in H_{2k,n}[/tex].

2. Αν [tex]U_1,U_2[/tex] είναι δύο ορθογώνιοι μετασχηματισμοί, τότε [tex](U_1U_2)(p)=U_1(U_2(p))[/tex].

3. Αν [tex]p(x)=\| x\|_2^{2k}=(\xi_1^2+\cdots +\xi_n^2)^k[/tex], τότε [tex]U(p)=p[/tex] για κάθε ορθογώνιο μετασχηματισμό [tex]U[/tex].

Για το Θεώρημα 1 θα χρειαστούμε το γεγονός ότι τα πολυώνυμα της μορφής [tex]c\| x\|_2^{2k}[/tex] είναι τα μόνα ομογενή πολυώνυμα βαθμού [tex]2k[/tex] που είναι "αναλλοίωτα ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς".

Πρόβλημα 1. Αν [tex]p\in H_{2k,n}[/tex] και [tex]U(p)=p[/tex] για κάθε ορθογώνιο μετασχηματισμό [tex]U:{\mathbb R}^n\to {\mathbb R}^n[/tex], τότε υπάρχει [tex]c\in {\mathbb R}[/tex] ώστε [tex]p(x)=c\| x\|_2^{2k}= c(\xi_1^2+\cdots +\xi_n^2)^k[/tex] για κάθε [tex]x=(\xi_1,\ldots ,\xi_n)\in {\mathbb R}^n[/tex].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κυρτά σώματα και θεωρία αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2007, 14:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
apgiannop έγραψε:
Θεώρημα [Καραθεοδωρής, 1907] Έστω [tex]S[/tex] μη κενό υποσύνολο του [tex]{\mathbb R}^n[/tex]. Για κάθε [tex]z\in {\rm conv}(S)[/tex] υπάρχουν [tex] y_1,\ldots ,y_{n+1}\in S[/tex] και [tex]t_i\geq 0[/tex] με [tex]t_1+\cdots +t_{n+1}=1[/tex] ώστε [tex]z=t_1y_1+\cdots +t_{n+1}y_{n+1}[/tex].

Πώς αποδεικνύεται;


[tex]\rm conv}(S)[/tex]=η κυρτή θήκη του [tex]S[/tex], δηλαδή το ελάχιστο κυρτό σύνολο που περιέχει το [tex]S[/tex]. Με Μαθηματικά, έχουμε ότι
[tex]\rm conv}(S)=\cap\{K\subset{\mathbb R}^n|K[/tex] κυρτό, [tex]S\subset {\mathbb R}^n\}[/tex]
[Άσκηση: Δείξτε ότι [tex]\rm conv}(S)=\{\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}|x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in{\mathbb R}^n, t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}\geq 0, \sum_{i=1}^{n}t_{i}=1\}[/tex]].
Οπόταν, το Θεώρημα λέει πως για κάθε στοιχείο [tex]x[/tex] της κυρτής θήκης του [tex]S\subset\mathbb {R}^n[/tex], υπάρχει ένα [tex]S_{2}\subset S[/tex] τέτοιο ώστε να περιέχει το πολύ [tex]n+1[/tex] σημεία με [tex]x\in\rm conv}(S_{2})[/tex].
Τώρα, έστω [tex]x\in\rm conv}(S)[/tex]. Τότε, το x είναι ένας κυρτός συνδυασμός στοιχείων του [tex]S\subset\mathbb {R}^{n}[/tex], δηλαδή
[tex]x=\sum_{i=1}^{k}t_{i}x_{i}[/tex], όπου [tex]x_{i}\in{\mathbb R}^k, t_{i}\geq 0, 1\leq i \leq k[/tex].
Έστω ότι k>n+1. Τότε τα σημεία [tex]x_{2}-x_{1}, x_{3}-x_{1},\ldots,x_{k}-x_{1}[/tex] είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Άρα υπάρχουν [tex]\lambda_{1},\ldots\lambda_{k}[/tex] όχι όλα μηδέν τ.ω. [tex]\sum_{j=2}^{k}\lambda_{j}(x_{j}-x{i})=0[/tex].
Θέτουμε [tex]\lambda_{1}:=\sum_{j=2}^{k}\lambda_{j}[/tex].
Τότε,
[tex]\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}x_{j}=0[/tex] και
[tex]\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}=0[/tex], όπου
[tex]\lambda_{k}[/tex] όχι όλα μηδέν. Συνεπώς, τουλάχιστον ένα [tex]\lambda_{j}>0[/tex]. Τότε,
[tex]x=\sum_{j=1}^{k}t{j}x_{j}=0 - a\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}x_{j}=\sum_{j=1}^{k}(t{j}x_{j}-a\lambda_{j})x_{j}[/tex], για κάθε [tex]a\in\mathbb{R}[/tex]. Φυσιολογικά λοιπόν, θέτουμε
[tex]a:=min_{1\leq j\leq 0}\{\frac{t_{j}}{\lambda_{j}}|\lambda_{j}>0\}=\frac{t_{j}}{\lambda_{j}}>0[/tex].
[tex]t_{i}-a\lambda_{i}\geq0[/tex] και άρα
[tex]x=\sum_{j=1}^{k}(t_{j}-a\lambda_{j})x_{j}, t_{j}-a\lambda_{j}>0[/tex], [tex]\sum_{j=1}^{k}(t_{j}-a\lambda_{j})=1=>t_{i}-a\lambda_{i}=0[/tex]. Οπόταν το [tex]x[/tex] είναι κυρτός συνδυασμός [tex]k-1[/tex] (το πολύ) στοιχείων του[tex]S[/tex]. Συνεχίζοντας έτσι, έχουμε το ζητούμενο.

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κυρτά σώματα και θεωρία αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2007, 14:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Yiannis έγραψε:
Άσκηση: Δείξτε ότι [tex]\rm conv}(S)=\{\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}|x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in{\mathbb R}^n, t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}\geq 0, \sum_{i=1}^{n}t_{i}=1\}[/tex].


Πρόταση 1
Aν [tex]\{K_{i}|i\in{I}\}[/tex] οικογένεια κυρτών υποσυνόλων ενός δ.χ. X, τότε [tex]\cap_{i\in I}K_{i}[/tex] είναι κυρτό.

Πρόταση 2
Έστω [tex]C\subseteq X[/tex], όπου [tex]X[/tex] διανυσματικός χώρος. Τότε [tex]C[/tex] κυρτό [tex]\Leftrightarrow \sum^{n}_{i=i}\lambda_{i}x_{i}\in C, \forall x_{1}, x_{2},\ldots,x_{n}\in C, \forall\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}\geq 0[/tex], [tex]\sum^{n}_{i=1}\lambda_{i}=1.[/tex]

[Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε επαγωγή στο n. Παρατηρείστε ότι
[tex]\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}x_{2}+\lambda_{3}x_{3}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})(\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}x_{1}+\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}x_{2})+\lambda_{3}x_{3}[/tex]].

Έχουμε λοιπόν:

[tex]\rm conv}(S)=\cap\{K\subset|K[/tex] κυρτό, [tex]S\subset K\}[/tex].
Θέτουμε [tex]A:=\{\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}|x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in{\mathbb R}^n, t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}\geq 0, \sum_{i=1}^{n}t_{i}=1\}[/tex]
A κυρτό [tex]=>\rm conv}(S)\subset A[/tex]
Από την Πρόταση 1, το [tex]\rm conv}(S)[/tex] είναι κυρτό, άρα από την Πρόταση 2, αυτό θα περιέχει και τους κυρτούς συνδυασμούς στοιχείων του [tex]S=>A\subset \rm conv}(S)[/tex]

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κυρτά σώματα και θεωρία αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2007, 16:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3027
Γιάννη, ευχαριστούμε πολύ. Να δούμε πώς χρησιμοποιείται το θεώρημα του Καραθεοδωρή (σε συνδυασμό με το Πρόβλημα 1) για την απόδειξη του Θεωρήματος 1.

Παράθεση:
Θεώρημα 1. Έστω [tex]k[/tex] και [tex]n[/tex] δύο φυσικοί αριθμοί. Υπάρχουν [tex]u_1,\ldots ,u_m\in {\mathbb R}^n[/tex] που ικανοποιούν το εξής: για κάθε [tex]x\in {\mathbb R}^n[/tex], [tex]\| x\|_2^{2k}=\sum_{i=1}^m\langle u_i,x\rangle^{2k}[/tex]. Δηλαδή, η [tex]k[/tex]-οστή δύναμη του αθροίσματος των τετραγώνων [tex]n[/tex] πραγματικών μεταβλητών είναι ένα άθροισμα [tex](2k)[/tex]-δυνάμεων κατάλληλων γραμμικών μορφών των μεταβλητών.


Συμβολίζουμε με [tex]B_2^n[/tex] την Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα. Για κάθε [tex]y\in B_2^n[/tex] ορίζουμε [tex]p_{y }(x)=\langle y ,x\rangle^{2k}[/tex]. Κάθε [tex]p_{y }[/tex] είναι ομογενές πολυώνυμο βαθμού [tex]2k[/tex]. Θεωρούμε την κυρτή θήκη [tex]K={\rm conv}(\{ p_{y }:y\in B_2^n\})[/tex] των [tex]p_{y }[/tex] στον [tex]H_{2k,n}[/tex]. Αφού η [tex]B_2^n[/tex] είναι συμπαγής και η απεικόνιση [tex]y\mapsto p_{y }[/tex] είναι συνεχής, το σύνολο [tex]\{ p_{y }:y\in B_2^n\}[/tex] είναι συμπαγές. Συνεπώς, το [tex]K[/tex] είναι συμπαγές.

Θα δείξουμε ότι υπάρχει [tex]c>0[/tex] ώστε το πολυώνυμο [tex]c\| x\|_2^{2k}[/tex] να ανήκει στο [tex]K[/tex]. Ορίζουμε [tex]p(x)= \frac{1}{|B_2^n|}\int_{B_2^n}p_y(x)\,dy=\frac{1}{|B_2^n|}\int_{B_2^n}\langle
y,x\rangle^{2k}dy[/tex]. Παρατηρήστε ότι [tex]p\in H_{2k,n}[/tex] και [tex]U(p)=p[/tex] για κάθε ορθογώνιο μετασχηματισμό [tex]U[/tex]. Πράγματι,
[tex]p(U^tx) = \frac{1}{|B_2^n|}\int_{B_2^n}\langle y,U^tx\rangle ^{2k}dy[/tex] [tex]=\frac{1}{|B_2^n|}\int_{B_2^n}\langle Uy,x\rangle^{2k}dy= |\det U|\cdot\frac{1}{|B_2^n|}\int_{U(B_2^n)}\langle
z,x\rangle^{2k}dz=p(x)[/tex], αφού [tex]|\det U|=1[/tex] και [tex]U(B_2^n)=B_2^n[/tex].

Παράθεση:
Πρόβλημα 1. Αν [tex]p\in H_{2k,n}[/tex] και [tex]U(p)=p[/tex] για κάθε ορθογώνιο μετασχηματισμό [tex]U:{\mathbb R}^n\to {\mathbb R}^n[/tex], τότε υπάρχει [tex]c\in {\mathbb R}[/tex] ώστε [tex]p(x)=c\| x\|_2^{2k}= c(\xi_1^2+\cdots +\xi_n^2)^k[/tex] για κάθε [tex]x=(\xi_1,\ldots ,\xi_n)\in {\mathbb R}^n[/tex].


Από το Πρόβλημα 1 υπάρχει [tex]c\in {\mathbb R}[/tex] ώστε [tex]p(x)=c\| x\|_2^{2k}[/tex] για κάθε [tex]x\in {\mathbb R}^n[/tex]. Αφού [tex]p_y(x)\geq 0[/tex] για κάθε [tex]y\in B_2^n[/tex] και, αν [tex]x\neq 0[/tex] έχουμε [tex]p_y(x)>0[/tex] για σχεδόν όλα τα [tex]y\in B_2^n[/tex], συμπεραίνουμε ότι [tex]p(x)>0[/tex] για [tex]x\neq 0[/tex]. Συνεπώς, [tex]c>0[/tex].

Το ολοκλήρωμα [tex]\frac{1}{|B_2^n|}\int_{B_2^n}p_y(x)\,dy[/tex] προσεγγίζεται (ομοιόμορφα ως προς [tex]x\in S^{n-1}[/tex]) από πεπερασμένα αθροίσματα Riemann, δηλαδή κυρτούς συνδυασμούς της μορφής [tex]\sum_{i=1}^Nt_ip_{y_i}[/tex] για κάποια [tex]y_i\in B_2^n[/tex] (άσκηση). Άρα, το [tex]p[/tex] ανήκει στην κλειστή θήκη του [tex]K[/tex]. Όμως, το [tex]K[/tex] είναι συμπαγές. Άρα, [tex]p\in K[/tex]. Δηλαδή, υπάρχουν [tex]y_1,\ldots ,y_m\in B_2^n[/tex] και [tex]t_i\geq 0[/tex] που ικανοποιούν το εξής: για κάθε [tex]x\in {\mathbb R}^n[/tex] έχουμε [tex]c\| x\|_2^{2k}=\sum_{i=1}^mt_i\langle y_i,x\rangle^{2k}[/tex]. Έτσι, έχουμε αποδείξει το Θεώρημα 1.

Το θεώρημα του Καραθεοδωρή μας δίνει και άνω φράγμα για τον [tex]m[/tex] συναρτήσει των [tex]n[/tex] και [tex]k[/tex] (αφού γνωρίζουμε τη διάσταση του [tex]H_{2k,n}[/tex]). Δηλαδή, μας βοηθάει να κάνουμε "ποσοτικό" το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1.

Θεώρημα 2 (Hilbert, απάντηση στο πρόβλημα του Waring). Για κάθε [tex]k\geq 2[/tex] υπάρχει [tex]g(k)\in {\mathbb N}[/tex] με την εξής ιδιότητα: αν [tex]n\in {\mathbb N}[/tex] τότε υπάρχουν [tex]s\leq g(k)[/tex] και [tex]m_1,\ldots ,m_s\in {\mathbb N}[/tex] ώστε [tex]n=m_1^k+\cdots +m_s^k[/tex].

Πρόβλημα 2 (το βασικό Λήμμα του Hilbert). Για κάθε ζευγάρι φυσικών αριθμών [tex]k[/tex] και [tex]n[/tex] υπάρχουν [tex]m\in {\mathbb N}[/tex] και [tex]u_1,\ldots ,u_m\in {\mathbb R}^n[/tex] με ακέραιες συντεταγμένες και θετικοί ρητοί αριθμοί [tex]c_1,\ldots ,c_m[/tex] με την ιδιότητα [tex]\| x\|_2^{2k}=\sum_{i=1}^mc_i\langle u_i,x\rangle^{2k}[/tex] για κάθε [tex]x\in {\mathbb R}^n[/tex] (κάνετε τη σύγκριση με το Θεώρημα 1).

Ας δούμε για παράδειγμα πώς χρησιμοποιείται αυτή η αναπαράσταση στην περίπτωση [tex]k=4[/tex]. Γνωρίζουμε ότι κάθε φυσικός αριθμός γράφεται σαν άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων φυσικών αριθμών (Lagrange). Έστω [tex]n\in {\mathbb N}[/tex]. Υπάρχουν [tex]a_1,a_2,a_3,a_4\in {\mathbb Z}^+[/tex] ώστε [tex]n=a_1^2+a_2^2+a_3^2 +a_4^2[/tex]. Εφαρμόζουμε το ίδιο αποτέλεσμα για τους [tex]a_i[/tex]. Υπάρχουν [tex]a_{ij}\in {\mathbb Z}^+[/tex], [tex]i,j=1,\ldots ,4[/tex], ώστε [tex]n=\sum_{i=1}^4 (a_{i1}^2+a_{i2}^2+a_{i3}^2+a_{i4}^2)^2[/tex].

Τώρα χρησιμοποιούμε το Πρόβλημα 2 με [tex]n=4[/tex] και [tex]k=2[/tex]. Έπεται ότι ο [tex]n[/tex] γράφεται στη μορφή [tex]n=\sum_{j=1}^sc_jm_j(n)^4[/tex] όπου [tex]m_j=m_j(n)\in {\mathbb N}[/tex] και [tex]c_1,\ldots ,c_s[/tex] θετικοί ρητοί.

Πρόβλημα 3. Μπορείτε να ολοκληρώσετε την απόδειξη του Θεωρήματος 2 στην περίπτωση [tex]k=4[/tex]; Επίσης, όποιος θέλει ας μας δώσει τη λύση για το Πρόβλημα 1 και το Πρόβλημα 2.

Μια τελευταία παρατήρηση (για την ώρα): Στήν περίπτωση [tex]k=2[/tex], την απάντηση στο Πρόβλημα 2 δίνει η ταυτότητα του Liouville:

[tex](b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)^2[/tex] [tex]=\frac{1}{6}\sum_{1\leq i<j\leq
4}(b_i+b_j)^4 [/tex] [tex]+\frac{1}{6}\sum_{1\leq i<j\leq
4}(b_i-b_j)^4[/tex].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κυρτά σώματα και θεωρία αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2007, 19:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
apgiannop έγραψε:
Θεώρημα 2 (Hilbert, απάντηση στο πρόβλημα του Waring). Για κάθε [tex]k\geq 2[/tex] υπάρχει [tex]g(k)\in {\mathbb N}[/tex] με την εξής ιδιότητα: αν [tex]n\in {\mathbb N}[/tex] τότε υπάρχουν [tex]s\leq g(k)[/tex] και [tex]m_1,\ldots ,m_s\in {\mathbb N}[/tex] ώστε [tex]n=m_1^k+\cdots +m_s^k[/tex].


Αναφορικά με το Θεώρημα 2, το οποίο είναι η (μερική) λύση που έδωσε ο Hilbert στο πρόβλημα του Waring: Αν κάθε φυσικός αριθμός αναπαρίσταται ως άθροισμα φραγμένων αριθμών κ-ών (μη αρνητικών) δυνάμεων.
Λέω μερική γιατί αυτό που έδειξε ο Hilbert είναι οτι για κάθε κ ΥΠΑΡΧΕΙ ένας πεπερασμένος αριθμός [tex]g(k)[/tex] με την ιδιοτητα ότι κάθε θετικός ακέραιος (δηλ κάθε [tex]z\in \mathbb{Z}_+[/tex]) είναι το άθροισμα το πολύ [tex]g(k)[/tex] κ-οστών δυνάμεων (Θεώρημα 2).
Η απόδειξη βρίσκεται εδώ: http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN235181684_0067

Για το Πρόβλημα 2, κρύβεται πουθενά ο τύπος των πολικών συντεταγμένων στο [tex]\mathbb{Ρ}^{n}[/tex];
Θα προσπαθήσω να δείξω το Πρόβλημα 1.

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κυρτά σώματα και θεωρία αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2007, 19:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3027
Την πλήρη απόδειξη λέμε να δούμε, αν θέλετε φυσικά. Υπάρχουν παραπομπές και η απόδειξη έχει απλουστευτεί αρκετά στο μεταξύ.

Το Πρόβλημα 2 ζητάει κάτι λίγο πιο ακριβές από το Θεώρημα 1, η λύση λογικά θα έχει αρκετές ομοιότητες.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κυρτά σώματα και θεωρία αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Μαρ 2007, 11:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Καλημέρα!

Θα δώσω μια απόδειξη στο πρόβλημα 1: Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει [tex]c\in \mathbb R[/tex] ώστε [tex]p(x)=c\|x\|_2^{2k}[/tex] για κάθε [tex]x\in \mathbb R^n[/tex], ισοδύναμα [tex]p(x)-c\|x\|_2^{2k}=0[/tex] για κάθε [tex]x\in \mathbb R^n[/tex] και κάποια σταθερά [tex]c\in \mathbb R^n[/tex]. Αν το πολυώνυμο [tex]q(x)=p(x)-c\|x\|_2^{2k}[/tex] είναι ταυτοτικά μηδέν τότε [tex]p(x)=c\|x\|_2^{2k}[/tex] για κάθε [tex]x\neq 0[/tex] ισοδύναμα [tex]p\left(\frac{x}{\|x\|_2}\right)=c[/tex] δηλαδή [tex]c=p(u)[/tex] για κάθε [tex]u\in S^{n-1}[/tex](αναγκαία συνθήκη). Επομένως, εργαζόμαστε ως εξής:
Έστω [tex]x_0\in S^{n-1}[/tex]. Θέτουμε [tex]c=p(x_0)[/tex] και ορίζουμε [tex]q(x)=p(x)-c\|x\|_2^{2k}[/tex]. Τότε [tex]q\in H_{2k,n}[/tex] και [tex]U(q)=q[/tex] για κάθε ορθογώνιο μετασχηματισμό (αυτό προκύπτει από την υπόθεση ότι το [tex]p[/tex] μένει αναλλοίωτο από ορθογώνιους μετασχηματισμούς). Άρα θα είναι [tex]q(Ux)=q(x)[/tex] για κάθε [tex]x\in \mathbb R^n[/tex]. Για να δείξουμε ότι το [tex]q[/tex] είναι ταυτοτικά μηδέν, λόγω ομογένειας, αρκεί να το δείξουμε για στοιχεία της [tex]S^{n-1}[/tex]. Έστω [tex]x\in S^{n-1}[/tex]. Προφανώς υπάρχει ορθογώνιος μετασχηματισμός [tex]U[/tex] τέτοιος ώστε [tex]x=Ux_0[/tex]. Έτσι, [tex]q(x)=q(Ux_0)=q(x_0)=0[/tex].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κυρτά σώματα και θεωρία αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Μαρ 2007, 15:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Μια ιδέα είναι η εξής:
Αφού

[tex]H_{2k,n} \cong {\mathbb R}^d[/tex], όπου [tex]d={n+2k-1\choose 2k}[/tex] και μια βάση του [tex]H_{2k,n}[/tex] είναι το σύνολο των πολυωνύμων [tex]e_{\alpha }(x)=\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_n^{\alpha_n}[/tex], όπου [tex]\alpha =(\alpha_i)_{i\leq n}[/tex], [tex]\alpha_i\in {\mathbb Z}^{+}[/tex], [tex]\alpha_1+\cdots +\alpha_n=2k[/tex].
Κάθε [tex]p\in H_{2k,n}[/tex] γράφεται μονοσήμαντα στη μορφή [tex]p(x)=\sum t_{\alpha }(p)e_{\alpha }(x)[/tex]
Από τις υποθέσεις του προβλήματος 1,

[tex]p\in H_{2k,n}[/tex] και [tex]U(p)=p[/tex], συνεπώς,
U[tex](p)=p(x)=\sum t_{\alpha }(p)(\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_n^{\alpha_n})_{x}[/tex] [tex]=q(x)=p(U^tx)=\sum t_{\alpha }(p)(\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_n^{\alpha_n})_{U^tx}[/tex].
Κάνοντας μια αλλαγή (μεταβλητών) στο δείκτη στο δεύτερο άθροισμα, θα μας βγεί απ'έξω μια ορίζουσα η οποία είναι το [tex](\xi_{1}^{2}+\ldots +\xi_{n}^{2})[/tex]

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Μαρ 2007, 16:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Κε Γιαννόπουλε, για το Θεώρημα 2... Απ'οτι είδα, η απόδειξη έχει απλοποιηθεί από τον W. J. Ellison στο άρθρο

Waring's Problem
W. J. Ellison
The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 1 (Jan., 1971), pp. 10-36
doi:10.2307/2317482
ISSN: 00029890
OCLC: 41302466
LCCN: sn99-23390
JSTOR

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κυρτά σώματα και θεωρία αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Μαρ 2007, 17:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3027
Ας τα πάρουμε με τη σειρά: να διορθώσουμε πρώτα κάποια τυπογραφικά στην απόδειξη του θεωρήματος του Καραθεοδωρή:

Yiannis έγραψε:
Τώρα, έστω [tex]x\in\rm conv}(S)[/tex]. Τότε, το x είναι ένας κυρτός συνδυασμός στοιχείων του [tex]S\subset\mathbb {R}^{n}[/tex], δηλαδή [tex]x=\sum_{i=1}^{k}t_{i}x_{i}[/tex], όπου [tex]x_{i}\in S, t_{i}\geq 0, 1\leq i \leq k[/tex] και [tex]\sum_{i=1}^kt_i=1[/tex].
Έστω ότι k>n+1. Τότε τα σημεία [tex]x_{2}-x_{1}, x_{3}-x_{1},\ldots,x_{k}-x_{1}[/tex] είναι γραμμικά εξαρτημένα. Άρα υπάρχουν [tex]\lambda_{2},\ldots\lambda_{k}[/tex] όχι όλα μηδέν τ.ω. [tex]\sum_{j=2}^{k}\lambda_{j}(x_{j}-x_{1})=0[/tex]. Θέτουμε [tex]\lambda_{1}:=-\sum_{j=2}^{k}\lambda_{j}[/tex]. Τότε, [tex]\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}x_{j}=0[/tex] και [tex]\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}=0[/tex], όπου [tex]\lambda_{k}[/tex] όχι όλα μηδέν. Συνεπώς, τουλάχιστον ένα [tex]\lambda_{j}>0[/tex]. Τότε, [tex]x=\sum_{j=1}^{k}t_{j}x_{j}=x - a\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}x_{j}=\sum_{j=1}^{k}(t_{j}-a\lambda_{j})x_{j}[/tex], για κάθε [tex]a\in\mathbb{R}[/tex]. Φυσιολογικά λοιπόν, θέτουμε [tex]a:=\min\left \{\frac{t_{j}}{\lambda_{j}}|\lambda_{j}>0\right \}=\frac{t_{i}}{\lambda_{i}}>0[/tex].
Με αυτήν την επιλογή του [tex]a[/tex] έχουμε [tex]t_{j}-a\lambda_{j}\geq 0[/tex], [tex]x=\sum_{j=1}^{k}(t_{j}-a\lambda_{j})x_{j}[/tex], [tex]\sum_{j=1}^{k}(t_{j}-a\lambda_{j})=1[/tex] και [tex]t_{i}-a\lambda_{i}=0[/tex]. Οπόταν το [tex]x[/tex] είναι κυρτός συνδυασμός [tex]k-1[/tex] (το πολύ) στοιχείων του[tex]S[/tex]. Συνεχίζοντας έτσι, έχουμε το ζητούμενο.


Το "φραγμένων" δεν το καταλαβαίνω, εκτός κι αν εννοείς το πλήθος,

Παράθεση:
κάθε φυσικός αριθμός αναπαρίσταται ως άθροισμα φραγμένων αριθμών κ-ών (μη αρνητικών) δυνάμεων


οπότε, δεν βλέπω τη διαφορά από αυτό:

Παράθεση:
για κάθε κ ΥΠΑΡΧΕΙ ένας πεπερασμένος αριθμός [tex]g(k)[/tex] με την ιδιοτητα ότι κάθε θετικός ακέραιος (δηλ κάθε [tex]z\in \mathbb{Z}_+[/tex]) είναι το άθροισμα το πολύ [tex]g(k)[/tex] κ-οστών δυνάμεων (Θεώρημα 2).


Για το Πρόβλημα 1: δώσε μας αν θέλεις λεπτομερή απόδειξη με βάση την ιδέα σου. Έχουμε ήδη μια απόδειξη πιο πάνω.

Παράθεση:
Από τις υποθέσεις του προβλήματος 1, [tex]p\in H_{2k,n}[/tex] και [tex]U(p)=p[/tex], συνεπώς, [tex]U(p)=p(x)=\sum t_{\alpha }(p)(\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_n^{\alpha_n})_{x}[/tex] [tex]=q(x)=p(U^tx)=\sum t_{\alpha }(p)(\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_n^{\alpha_n})_{U^tx}[/tex]. Κάνοντας μια αλλαγή (μεταβλητών) στο δείκτη στο δεύτερο άθροισμα, θα μας βγεί απ'έξω μια ορίζουσα η οποία είναι το [tex](\xi_{1}^{2}+\ldots +\xi_{n}^{2})[/tex]


Το άρθρο του Ellison μπορείς να το βρείς στην e-class του μαθήματος "Κυρτή Ανάλυση" (MATH140). Όπως όμως έγραψα και παραπάνω, λέμε να κάνουμε έναν κόπο παραπάνω να καταλήξουμε σιγά-σιγά στην πλήρη απόδειξη. Δεν λέω, καλό είναι να ξέρουμε ότι κάτι έχει αποδειχθεί και πού θα το βρούμε, μερικά πράγματα όμως μπορεί να θέλουμε να ξοδέψουμε το χρόνο για να τα δούμε λεπτομερώς.

Yiannis έγραψε:
για το Θεώρημα 2... Απ'οτι είδα, η απόδειξη έχει απλοποιηθεί από τον W. J. Ellison στο άρθρο Waring's Problem, W. J. Ellison, The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 1 (Jan., 1971), pp. 10-36


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Το πρόβλημα του Waring
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Μαρ 2007, 19:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3027
Θέλουμε λοιπόν να δείξουμε το εξής:

Θεώρημα 2. Για κάθε [tex]k\geq 2[/tex] υπάρχει [tex]g(k)\in {\mathbb N}[/tex] με την εξής ιδιότητα: αν [tex]n\in {\mathbb N}[/tex] τότε υπάρχουν [tex]s\leq g(k)[/tex] και [tex]m_1,\ldots ,m_s\in
{\mathbb N}[/tex] ώστε [tex]n=m_1^k+\cdots +m_s^k[/tex].

Τα προβλήματα που συζητάμε μέχρι στιγμής, θα βοηθήσουν να αποδείξουμε το εξής:

[tex](\ast)[/tex] Αν η Πρόταση στο Θεώρημα 2 ισχύει για κάποιον [tex]k[/tex] τότε ισχύει και για τον [tex]2k[/tex].

Η ιδέα περιγράφτηκε στην περίπτωση [tex]k=2[/tex], [tex]2k=4[/tex]: θεωρούμε τυχόντα [tex]n\in {\mathbb N}[/tex] και, γνωρίζοντας ότι η Πρόταση ισχύει για [tex]k=2[/tex] (θεώρημα Lagrange) βρίσκουμε [tex]a_1,a_2,a_3,a_4\in {\mathbb Z}^+[/tex] ώστε [tex]n=a_1^2+a_2^2+a_3^2 +a_4^2[/tex]. Κάθε [tex]a_i[/tex] γράφεται κι αυτός σαν άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων: υπάρχουν [tex]a_{ij}\in {\mathbb Z}^+[/tex], [tex]i,j=1,\ldots ,4[/tex], ώστε [tex]n=\sum_{i=1}^4 (a_{i1}^2+a_{i2}^2+a_{i3}^2+a_{i4}^2)^2[/tex]. Από την ταυτότητα του Liouville, ο [tex]n[/tex] γράφεται στη μορφή [tex]n=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^sm_j^4[/tex] όπου [tex]m_j\in {\mathbb N}[/tex] και [tex]s\leq 48[/tex].

Το μόνο πρόβλημα είναι ο ρητός [tex]\tfrac{1}{6}[/tex] μπροστά από το άθροισμα. Το τέχνασμα είναι ότι αν ο [tex]n[/tex] είναι πολλαπλάσιο του [tex]6[/tex], τότε εφαρμόζουμε την προηγούμενη αναπαράσταση για τον [tex]n/6[/tex] και έχουμε τελειώσει.

Τι κάνουμε αν ο [tex]n[/tex] δεν είναι πολλαπλάσιο του [tex]6[/tex]. Τον γράφουμε στη μορφή [tex]n=6n_1+x[/tex] για κάποιον [tex]1\leq x\leq 5[/tex]. Γράφοντας τον [tex]6n_1[/tex] σαν άθροισμα [tex]48[/tex] το πολύ τετάρτων δυνάμεων και γράφοντας [tex]x=1^4+\cdots +1^4[/tex] (σαν άθροισμα το πολύ πέντε τετάρτων δυνάμεων), έχουμε γράψει τον [tex]n[/tex] σαν άθροισμα το πολύ [tex]53[/tex] τετάρτων δυνάμεων.

Αυτή η περίπτωση μας δίνει τη σχέση του ζητούμενου με το Πρόβλημα 2 (και μια ιδέα για τη δυσκολία που προκύπτει από τους ρητούς συντελεστές [tex]c_i[/tex]).

Ισχυρισμός Για κάθε [tex]k[/tex] η Πρόταση στο Θεώρημα 2 είναι ισοδύναμη με την εξής Πρόταση:

Πρόβλημα 4 Υπάρχουν [tex]n(k),g(k)\in {\mathbb N}[/tex] και θετικοί ρητοί [tex]c_1,\ldots ,c_{g(k)}[/tex] ώστε: αν [tex]n\in {\mathbb N}[/tex] και [tex]n\geq n(k)[/tex], τότε υπάρχουν [tex]m_1,\ldots ,m_{g(k)}\in {\mathbb Z}^+[/tex] ώστε [tex]n=c_1m_1^k+\cdots +c_{g(k)}m_{g(k)}^k[/tex].

Για την απόδειξη της [tex](\ast )[/tex] θέλουμε πρώτα να αναχθούμε μέσω του ισχυρισμού στο Πρόβλημα 4. Για να δείξουμε ότι η Πρόταση στο Πρόβλημα 4 ισχύει για τον [tex]2k[/tex] αν ισχύει για τον [tex]k[/tex], θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το Πρόβλημα 2. Για να λύσουμε το Πρόβλημα 2, πρέπει να δούμε πιο προσεκτικά την απόδειξη του Θεωρήματος 1, η οποία χάρη στον Γιάννη και τον Πέτρο είναι νομίζω πλήρης.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group