forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2018, 03:50

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση με ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Φεβ 2014, 16:38 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 12 Ιαν 2014, 01:42
Δημοσ.: 9
Στην άσκηση: Έστω η ακολουθία a_n ακολουθία πρώτων αριθμών, ώστε a_n\to a>0 .Να αποδειχθεί ότι η a_n είναι τελικά θετική.

Επιλέγουμε 0<e\leq a
π.χ. e=a/2 και |a_n-a|<a/2 και a/2<a_n\leq 3a/2 για κάθε n\geq n_0.

Εμείς επιλέγουμε το 0<e\leq a για να βγει στην συνέχεια το a_n θετικό. Όμως από τον ορισμό της ακολουθίας που συγκλίνει έχουμε ότι για κάθε e>0 ισχύει |a_n-a|\geq e.Αν επιλέξουμε e>a η ακολουθία a_n θα βγει αρνητική,αλλά η άσκηση λέει να αποδείξουμε ότι είναι θετική. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία δεν είναι τελικά θετική, και το πρόσημό της εξαρτάται από το e?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση με ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Φεβ 2014, 17:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
Ελένη, μάλλον εννοείς πραγματικών αριθμών! (Υποπτεύομαι ότι είχες σημειώσει "πρ. αριθμών" από τον πίνακα ή κάτι τέτοιο και έτσι προέκυψε το μπέρδεμα) Οι πρώτοι αριθμοί (δηλαδή οι θετικοί ακέραιοι \geq 2 που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και το 1) είναι άλλωστε κάτω φραγμένοι από το 2, οπότε αν μια ακολουθία έχει τιμές πρώτους αριθμούς είναι πάντα θετική.

Θεωρώντας λοιπόν ότι εννοείς πραγματικών αριθμών...
Ελένη έγραψε:
Επιλέγουμε 0<\epsilon\leq a
π.χ. \epsilon=a/2 και |a_n-a|<a/2 και a/2<a_n\leq 3a/2 για κάθε n\geq n_0.

Αυτό είναι σωστό από τον ορισμό της σύγκλισης: για κάθε \epsilon > 0 υπάρχει κάποιο n_0 \in \mathbb{N} ώστε για κάθε n \geq n_0 να ισχύει |a_n - a| < \epsilon. Αφού a>0, είναι και a/2 > 0 και εφαρμόζεις τον ορισμό για \epsilon = a/2.


Ελένη έγραψε:
Εμείς επιλέγουμε το 0<\epsilon\leq a για να βγει στην συνέχεια το a_n θετικό. Όμως από τον ορισμό της ακολουθίας που συγκλίνει έχουμε ότι για κάθε \epsilon>0 ισχύει |a_n-a|\geq \epsilon.Αν επιλέξουμε \epsilon>a η ακολουθία a_n θα βγει αρνητική,αλλά η άσκηση λέει να αποδείξουμε ότι είναι θετική. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία δεν είναι τελικά θετική, και το πρόσημό της εξαρτάται από το \epsilon?

Αυτό δεν είναι σωστό. Αρχικά, ο ορισμός της σύγκλισης λέει ότι για n \geq n_0 ισχύει |a_n-a| < \epsilon, και όχι |a_n-a|\geq \epsilon.
Έπειτα, αν επιλέξουμε \epsilon > a, θα έχουμε: |a_n - a| < \epsilon \implies a - \epsilon < a_n < a + \epsilon. Αυτό δεν σημαίνει ότι η a_n είναι αρνητική: σημαίνει απλά ότι οι όροι της είναι μεγαλύτεροι από έναν αρνητικό αριθμό. Αυτό φυσικά και θα ισχύει αν η a_n είναι τελικά θετική. Επί της ουσίας, όσο πιο μεγάλη είναι η τιμή του \epsilon, τόσο πιο ασαφή και "χαλαρά" συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε. Γι αυτό παίρνουμε το \epsilon αρκετά μικρό, ώστε να κάνουμε τα πράγματα που θέλουμε :)

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση με ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Φεβ 2014, 17:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Ελένη στον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας μας ενδιαφέρει το \varepsilon να είναι όσο το δυνατό μικρότερο. Για να γίνει πιο κατανοητό μπορούμε να γράψουμε το εξής:

Έστω \varepsilon > 0 (οσοδήποτε μικρό). Θέτουμε \epsilon = min\{\varepsilon, a/2\} > 0 και εφαρμόζουμε τον ορισμό της σύγκλισης για το \epsilon.

Τότε \exists n_{0} \in \mathbb{N} ώστε αν n \in \mathbb{N} με n \geq n_{0} να ισχύει ότι |a_{n} - a| < \epsilon \leq a/2, επομένως μετά συνεχίζουμε κανονικά.

Η λογική είναι ότι εφόσον η ακολουθία συγκλίνει και ο ορισμός ισχύει για οποιοδήποτε \varepsilon > 0 επιλέγουμε με τον παραπάνω τρόπο ένα άλλο έψιλον οσοδήποτε μικρό και επίσης μικρότερο του a/2 (βολικό).

Δε θέλουμε να δείξουμε ότι η ακολουθία συγκλίνει αλλά αυτό το έχουμε ως δεδομένο. Επομένως η επιλογή του κατάλληλου έψιλον είναι εντελώς αυθαίρετη και το επιλέγουμε έτσι ώστε να μας οδηγήσει στο συμπέρασμα που θέλουμε και να ικανοποιεί τον ορισμό.

Το \varepsilon > 0 δε μπορεί να επιλεγεί μεγαλύτερο του a γιατί τότε δε θα είναι "οσοδήποιτε μικρό" καθώς υπάρχει μικρότερο έψιλον που ικανοποιεί τον ορισμό. Όσο πιο μικρό είναι το έψιλον τόσο καλύτερη είναι η σύγκλιση μας.

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group