forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2018, 16:13

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Integrals
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Δεκ 2013, 06:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
(1) \displaystyle \int \frac{1}{\cos x \left(\sin x+\cos x\right)}dx

(2) \displaystyle \int\frac{1}{\sin^7(x)+\cos^7(x)}dx

(3) \displaystyle \int\frac{1}{1+x^8}dx


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Integrals
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Δεκ 2013, 22:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
1.

I=\int \frac{1}{\cos x(\cos x + \sin x)}dx

substitution (classical) :

t=\tan (x/2), and x=2\arctan (t), dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt, \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}, \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}

I=\int \frac{2(1+t^{2})}{(1-t^{2})(-t^{2}+2t+1)}dt

partial fraction decomposition :

I=\int \left ( \frac{2(t-1)}{t^{2}-2t-1}-\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t-1} \right )dt

so :

I_{1}=\int -\frac{2(t-1)}{t^{2}-2t-1}dt=\ln (t^{2}-2t-1)

I_{2}=\int \frac{1}{t+1}dt=\ln (t+1)

I_{3}=\int \frac{1}{t-1}dt=\ln (t-1)

ecc.




3.

I=\int \frac{1}{1+x^{8}}dx


we know :

1+x^{8}=(x^{4}+i)(x^{4}-i)

and

e^{(i\pi/4)}^{2}=e^{i\pi /2}=i

so :

1+x^{8}=(x^{2}+ie^{i\pi /4})(x^{2}-ie^{i\pi /4})(x^{2}+e^{i\pi /4})(x^{2}-e^{i\pi /4})

and because of :

e^{i\pi /4}=\cos (\pi /4)+i\sin (\pi /4)=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)

we have :

(x^{2}+ie^{i\pi /4})(x^{2}-e^{i\pi /4})=x^{4}-x^{2}\sqrt{2}+1=A

(x^{2}-ie^{i\pi /4})(x^{2}+e^{i\pi /4})=x^{4}+x^{2}\sqrt{2}+1=B

and after partial fraction decomposition :

\frac{1}{A\cdot B}=\frac{x^{2}+\sqrt{2}}{B \cdot 2\sqrt{2}}+\frac{-x^{2}+\sqrt{2}}{A \cdot 2\sqrt{2}}

so :

I=I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4} =

\int \frac{x^{2}}{B\cdot 2\sqrt{2}}dx+\int \frac{1}{B\cdot 2}dx-\int\frac{x^{2}}{A\cdot 2\sqrt{2}}dx+\int \frac{1}{2\cdot A}dx

I cannot find for this something better that the step by step solution of :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 29%29%29dx


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group