forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 14 Νοέμ 2018, 13:41

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: κίνηση μάζας m υποκείμενης στη δράση γραμμικού ελατηρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Νοέμ 2013, 21:23 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
Καλησπέρα

Να αποδείξετε ότι η κίνηση μάζας m υποκείμενης στη δράση γραμμικού ελατηρίου σταθεράς k, έχει τη μορφή y(t) = Asin(ωt + ϕ), όπου t ο χρόνος και A, ω, ϕ σταθερές. Να ερμηνεύσετε τη φυσική σημασία αυτών των σταθερώνκαι να καθορίσετε τις τιμές τους αν τη χρονική στιγμή t = 0, η μάζα έχει απομάκρυνση y0 και ταχύτητα v0. Αν επιπρόσθετα η μάζα υπόκειται σεεξωτερική δύναμη F(t) = F_{0}sin(ω_{0}t), πλάτους F_{0} και κυκλικής συχνότητας
ω_{0}, να υπολογισθεί το πλάτος της κινησης και να διερευνηθεί η εξάρτησή
του από την κυκλική συχνότητα ω_{0}.

Μπορείτε να με βοηθήσετε στην παραπάνω άσκηση??


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: κίνηση μάζας m υποκείμενης στη δράση γραμμικού ελατηρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Νοέμ 2013, 23:47 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Νομίζω πως ότι ζητάς θα το βρεις εδώ:

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_oscillator

Αν έχεις οποιαδήποτε απορία, χαρά μου να σου απαντήσω.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: κίνηση μάζας m υποκείμενης στη δράση γραμμικού ελατηρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Νοέμ 2013, 00:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
Από την διαφορική εξίσωση y''+\frac{k}{m}x=0, πώς μπορώ να καταλήξω στην y(t)=Asin(ωt + ϕ) αν η γενική λύση της δ.ε. είναι της μορφής y(t)=c_{1}cos(wt)+c_{2}sin(wt), w=\frac{k}{m} ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: κίνηση μάζας m υποκείμενης στη δράση γραμμικού ελατηρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Νοέμ 2013, 00:07 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Δες το αναλυτικά εδώ:

http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: κίνηση μάζας m υποκείμενης στη δράση γραμμικού ελατηρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Νοέμ 2013, 00:52 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
Επίσης μπορώ να υπολογίσω το πλάτος της κίνησης όταν το σώμα υπόκειται σε εξωτερική δύναμη F(t)=F_{0}sin(w_{0}t)??


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: κίνηση μάζας m υποκείμενης στη δράση γραμμικού ελατηρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Νοέμ 2013, 01:08 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Αυτό μπορείς να το βρεις από εδώ:

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_oscillator#Driven_harmonic_oscillators


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: κίνηση μάζας m υποκείμενης στη δράση γραμμικού ελατηρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Νοέμ 2013, 11:11 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 16 Δεκ 2010, 15:16
Δημοσ.: 296
mathmari έγραψε:
Επίσης μπορώ να υπολογίσω το πλάτος της κίνησης όταν το σώμα υπόκειται σε εξωτερική δύναμη F(t)=F_{0}sin(w_{0}t)??


Ουσιαστικά βάζεις και αυτή τη δύναμη στο νόμο του Νεύτωνα και έτσι μπαίνει και αυτός ο όρος στη διαφορική. Από κει και πέρα είναι λύσεις εξισώσεων δευτέρου βαθμού με σταθερούς συντελεστές. Λύνεται με τις κλασσικές τεχνικές και με το μετασχηματισμό Laplace.
Έχε υπόψη σου ότι όταν μια γενική λύση είναι της μορφής Acos(ωt) + Bsin(ωt) μπορεί να γραφτεί και σαν Acos(ωt+φ). Αποδεικνύεται παίζοντας με τις τριγωνομετρικές ταυτότητες (σπας το συνημίτονο του αθροίσματος και εμφανίζεις τους όρους που θέλεις). Το βασικό είναι ότι και στις 2 μορφές έχεις 2 παραμέτρους (απλά είναι σε διαφορετικές θέσεις) οι οποίες καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: κίνηση μάζας m υποκείμενης στη δράση γραμμικού ελατηρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Φεβ 2014, 19:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
Altair έγραψε:
Αυτό μπορείς να το βρεις από εδώ:

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_oscillator#Driven_harmonic_oscillators



little_george έγραψε:
Ουσιαστικά βάζεις και αυτή τη δύναμη στο νόμο του Νεύτωνα και έτσι μπαίνει και αυτός ο όρος στη διαφορική. Από κει και πέρα είναι λύσεις εξισώσεων δευτέρου βαθμού με σταθερούς συντελεστές. Λύνεται με τις κλασσικές τεχνικές και με το μετασχηματισμό Laplace.
Έχε υπόψη σου ότι όταν μια γενική λύση είναι της μορφής Acos(ωt) + Bsin(ωt) μπορεί να γραφτεί και σαν Acos(ωt+φ). Αποδεικνύεται παίζοντας με τις τριγωνομετρικές ταυτότητες (σπας το συνημίτονο του αθροίσματος και εμφανίζεις τους όρους που θέλεις). Το βασικό είναι ότι και στις 2 μορφές έχεις 2 παραμέτρους (απλά είναι σε διαφορετικές θέσεις) οι οποίες καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.


Για να βρω την κινηση οταν η μάζα υπόκειται σε εξωτερική δύναμη, εκανα τα παρακατω:
\Sigma F=ma

my''=F_0 sin(w_0 t)-ky

y''+\frac{k}{m}y= \frac{F_0}{m}sin(w_0 t)

Αρα: y(t)=c_1 cos(wt)+c_2 sin(wt)+ \frac{F_0}{m(w-w_0^2)}sin(w_0 t)

Ειναι σωστη η εξισωση της κινησης?
Πως μπορω να βρω τωρα το πλατος της κινησης?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: κίνηση μάζας m υποκείμενης στη δράση γραμμικού ελατηρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Φεβ 2014, 10:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 16 Δεκ 2010, 15:16
Δημοσ.: 296
Επειδή παλεύω με το χρόνο αυτές τις μέρες θα σου απαντήσω κάπως συνοπτικά και θα δω το θέμα με λεπτομέρεια μάλλον από βδομάδα.
Λοιπόν αν θέλεις το μέγιστο y κάνε παραγώγιση και βρες το max. Δε διαφέρει σε τίποτα από την εύρεση μεγίστου μιας συνάρτησης.
Αυτό που έχει ενδιαφέρον είναι να δεις τον απειρισμό του πλάτους στο συντονισμό δηλαδή όταν η συχνότητα της φυσικής ταλάντωσης που θα κάνει το ελατήριο (εννοώ χωρίς την εξωτερική δύναμη) ταυτίστεί με την συχνότητα της εξωτερικής δύναμης. Σε αυτή την περίπτωση θα αρχίσει το πλάτος να μεγαλώνει ανεξέλεκτα και σε κάθε πέρα δώθε θα "παίρνει" (σε πλάτος). 'Ηδη μπορείς να δεις κάποια προειδοποιητικά μηνύματα αυτού του φαινομένου. Η εξίσωση που έγραψες δεν ισχύει όταν ω=ω0 γιατί έχουμε μηδενισμό στον παρονομαστή. Για τη συγκεκριμένη περίπτωση ξαναγύρνα στην αρχική εξίσωση και λύσε την με ω=ω0. Εκεί θα αλλάξει η μαντεψιά της ειδικής λύσης της μη ομογενούς. Θα μπει και ένας γραμμικός όρος t που θα σου δείχνει ότι το πλάτος μεγαλώνει ανεξέλεγκτα με το χρόνο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group