forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 16 Νοέμ 2018, 14:02

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Χώρος ομοιομορφικός με διακριτό χώρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Νοέμ 2013, 09:34 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Καλημέρα.

Νομίζω ότι ψάχνοντας εδώ , βρήκα λυμένη μια απορία: "Πως δείχνω ότι ένας χώρος είναι ομοιομορφικός με διακριτό χώρο".
Την ψάχνω από χθες και δεν την βρίσκω. Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;

Ευχαριστώ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Χώρος ομοιομορφικός με διακριτό χώρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Νοέμ 2013, 11:06 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Πάρε την ταυτοτική από το χώρο σου,στον ίδιο χώρο αλλά με τη διακριτή μετρική .Τότε ειναι ομοιομορφισμός

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Χώρος ομοιομορφικός με διακριτό χώρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Νοέμ 2013, 20:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
otinanai έγραψε:
Πάρε την ταυτοτική από το χώρο σου,στον ίδιο χώρο αλλά με τη διακριτή μετρική .Τότε ειναι ομοιομορφισμός

Αν έχω καταλάβει τι εννοείς, αυτό που λες δεν είναι σωστό. Πχ η ταυτοτική id: (R, \rho) -> (R, d) όπου d η διακριτή μετρική και \rho η συνήθης μετρική, δεν είναι καν συνεχής, αφού το \{0\} είναι ανοιχτό στον δεύτερο χώρο αλλά όχι στον πρώτο!

myli έγραψε:
Καλημέρα.

Νομίζω ότι ψάχνοντας εδώ , βρήκα λυμένη μια απορία: "Πως δείχνω ότι ένας χώρος είναι ομοιομορφικός με διακριτό χώρο".
Την ψάχνω από χθες και δεν την βρίσκω. Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;

Ευχαριστώ.


Ένας χώρος που είναι ομοιομορφικός με διακριτό χώρο θα είναι διακριτός χώρος, αφού τα μονοσύνολά του θα είναι ανοιχτά, όπως και κάθε άλλο σύνολο. Μπορείς να ελέγξεις αυτό, ή αντίστοιχα ότι κάθε σύνολο είναι κλειστό.

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Τελευταία επεξεργασία απο diapsiquir την 28 Νοέμ 2013, 20:56, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Χώρος ομοιομορφικός με διακριτό χώρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Νοέμ 2013, 15:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Έχεις δίκιο,η συνάρτηση που πήρα δεν ειναι αμφισυνεχής απαραίτητα!

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Χώρος ομοιομορφικός με διακριτό χώρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Δεκ 2013, 23:14 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Δηλαδή , αν κατάλαβα καλά , ένας χώρος είναι ομοιομορφικός σε έναν διακριτό χώρο αν τα μονοσύνολά του είναι ταυτόχρονα κλειστά και ανοικτά;
Υπάρχει τρόπος να το δείξω και με χρήση ακολουθιών;

Ευχαριστώ για κάθε απάντηση.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Χώρος ομοιομορφικός με διακριτό χώρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Δεκ 2013, 01:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
Ίσως η διατύπωσή μου ήταν λίγο μπερδεμένη. Αρχικά, τα μονοσύνολα είναι πάντα κλειστά σε έναν μετρικό χώρο: για κάθε x \in X-\{x_0\} η ανοιχτή μπάλα με ακτίνα \frac {d(x, x_0)}{2} και κέντρο x_0 είναι υποσύνολο του X-\{x_0\}, άρα το X-\{x_0\} θα είναι ανοιχτό.
Αυτό που αρκεί να δείξεις για να καταλήξεις ότι ο χώρος είναι διακριτός, είναι ότι όλα τα μονοσύνολα είναι ανοιχτά, αφού αν όλα τα μονοσύνολα είναι ανοιχτά, τότε αυθαίρετες ενώσεις τους θα είναι ανοιχτές, άρα οποιοδήποτε υποσύνολο του χώρου θα είναι ανοιχτό (ισοδύναμα, το συμπλήρωμα οποιουδήποτε υποσυνόλου του X θα είναι κλειστό, άρα όλα τα σύνολα θα είναι κλειστά) επομένως ο χώρος θα είναι διακριτός. Φυσικά, τελικά θα ισχύει αυτό που λες, δηλαδή ότι όλα τα μονοσύνολα θα είναι ταυτόχρονα ανοιχτά και κλειστά, αλλά χρειάζεται να αποδείξεις μόνο ότι θα είναι ανοιχτά.

Το ότι κάθε μονοσύνολο είναι ανοιχτό μας παρέχει το εξής εργαλείο το οποίο ίσως είναι αυτό που ψάχνεις: ένας χώρος είναι διακριτός εάν και μόνο εάν κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι τελικά σταθερή, δηλαδή x_n \rightarrow x \implies \exists n_0 \forall n \geq n_0 : x_n=x. Αν ο χώρος είναι διακριτός, τότε κάθε μονοσύνολο είναι ανοιχτή μπάλα και επομένως η ακολουθία θα βρίσκεται τελικά μέσα στην ανοιχτή μπάλα αυτή.

Αντίστροφα, αν κάθε συγκλίνουσα ακολουθία σε έναν μετρικό χώρο είναι τελικά σταθερή, έστω ότι ο χώρος δεν είναι διακριτός. Τότε υπάρχει x για το οποίο το \{x\} δεν είναι ανοιχτό, δηλαδή κάθε μπάλα με κέντρο το {x} περιέχει κι άλλα στοιχεία. Θεωρούμε την ακολουθία των συνόλων \{B_{\frac{1}{n}} (x): n \in \mathbb{N} \} και πλέον (από το αξίωμα της επιλογής) υπάρχει ακολουθία x_n με x_n \in B_{\frac{1}{n}} (x) - \{x\}. Η εν λόγω ακολουθία συγκλίνει στο x και δεν είναι τελικά σταθερή, άτοπο. Άρα ο χώρος είναι διακριτός.

Έτσι λοιπόν απέδειξα ότι ένας μετρικός χώρος είναι διακριτός αν και μόνο αν κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι τελικά σταθερή. Ελπίζω να βοήθησα!


Edit: Συνειδητοποίησα ότι το επιχείρημα ότι δεν είναι τελικά σταθερή από πάνω θέλει επεξήγηση: Αν είναι τελικά σταθερή, προκειμένου να συγκλίνει στο x πρέπει να είναι τελικά ίση με x, πράγμα που είναι αδύνατο αφού οι επιλογές έχουν γίνει στην οικογένεια \left{ B_\frac{1}{n} (x)- \{x\} \right}

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Χώρος ομοιομορφικός με διακριτό χώρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Δεκ 2013, 18:40 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Αν και καθυστερημένα, ευχαριστώ πολύ για τη βοήθειά σας, να είστε καλά!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group