forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 14 Νοέμ 2018, 12:50

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: απειροστικος 2
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2013, 11:02 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 21 Οκτ 2011, 18:27
Δημοσ.: 79
Γεια σας, μπορειτε να με βοηθησετε στις παρακατω 2 ασκησεις

1)βρειτε ολες τισ Riemann ολοκληρωσιμες συναρτησεις (στα φραγμενα διαστηματα) f για τις οποιες ισχυει f(t)=1+\int_{0}^{t}f(s)ds, t\in\mathbb{R}.

2)Εστω f\in\mathbb{C}([0,+\infty)) ειναι τετοια ωστε να ικανοποιει f(t)\leq 1+\int_{0}^{t}f(s)ds για t\geq 0. Να δειξουμε οτι f(t)\leq e^{t} για t\geq 0.

Ευχαριστω πολυ


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απειροστικος 2
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2013, 18:20 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Για το 1):Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση έχουμε ότι f'(t)=f(t) ισοδύναμα f(t)=ce^t.Από τη δοσμένη σχέση για t=0 παίρνουμε
f(0)=1 συνεπώς f(0)=1=c και άρα f(t)=e^t για κάθε t ανήκει στο R.H τελευταία συνάρτηση ικανοποιεί τις προυποθέσεις του προβλήματος και άρα είναι η μοναδική λύση του.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απειροστικος 2
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2013, 18:27 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Ζητώ χίλια συγγνώμη , η συνάρτηση f δεν είναι απαραίτητα συνεχής και δεν ισχύει ότι έγραψα.Ήμουν αφηρημένος,δεν θα μπορούσε να είναι τόσο απλό!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: απειροστικος 2
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Δεκ 2013, 16:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
1.Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες f οπότε η ανωτέρω λύση είναι ορθή

2.
Θέτουμε :
w(t)=\int_{0}^{t}f(s)ds και g(t)=w(t)\cdot e^{-t} για t\geq 0

Απο τα δεδομένα έχουμε :
f(t)\leq w(t) για t\geq 0

Έτσι :
g{}'(t)=w{}'(t)\cdot e^{-t}-w(t)\cdot e^{-t} = f(t)\cdot e^{-t}-w(t)\cdot e^{-t} = e^{-t}(f(t)-w(t))\leq 0 για t\geq 0

Έτσι η g είναι μονότονη και φθίνουσα και ισχύει ειδικότερα :
g(t)\leq g(0) για t\geq 0

Άρα :
f(t)\leq w(t)\leq g(t)\cdot e^{t}\leq g(0)\cdot e^{t}=e^{t}

(Αυτό είναι ειδική περίπτωση τού Λήμματος τού Gronwall)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group