[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 282: copy(cc28c4e34ed829c85c4bd491100cd7b1.png): failed to open stream: No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/cc28c4e34ed829c85c4bd491100cd7b1.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/cc28c4e34ed829c85c4bd491100cd7b1.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/cc28c4e34ed829c85c4bd491100cd7b1.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 282: copy(cc28c4e34ed829c85c4bd491100cd7b1.png): failed to open stream: No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/cc28c4e34ed829c85c4bd491100cd7b1.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/cc28c4e34ed829c85c4bd491100cd7b1.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/cc28c4e34ed829c85c4bd491100cd7b1.png): No such file or directory
forum.math.uoa.gr • Προβολή θέματος - Ανισότητες με "ονοματεπώνυμο"

forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 25 Φεβ 2018, 19:46

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 36 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Φεβ 2007, 21:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2951
Μερικά σχόλια μετά την πρώτη απόδειξη. Στο τελευταίο βήμα, χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα του Holder για τη συνάρτηση f(\varepsilon )=\sum_{i=1}^na_ir_i(\varepsilon ) ως εξής:

\| f\|_2^2\leq \| f\|_1^{2/3}\| f\|_4^{4/3}\leq \| f\|_1^{2/3}B_4^{4/3}\| f\|_2^{4/3}, άρα \| f\|_2^{2/3}\leq B_4^{4/3}\| f\|_1^{2/3}, άρα \| f\|_2\leq B_4^2\| f\|_1.

Αν λοιπόν γνωρίζουμε "κάποια" B_4, τότε A_1\geq B_4^{-2}.

Ας δούμε λοιπόν πιο προσεκτικά την B_4. Γράφουμε \int_{E_2^n }\left |\sum_{i=1}^na_ir_i(\varepsilon )\right |^4d\mu (\varepsilon ) =\int_{E_2^n}\left (\sum_{i=1}^na_ir_i(\varepsilon )\right )\left (\sum_{j=1}^na_jr_j(\varepsilon )\right ) \left (\sum_{k=1}^na_kr_k(\varepsilon )\right )\left (\sum_{l=1}^na_lr_l(\varepsilon )\right )\,d\mu (\varepsilon )=\sum_{i,j,k,l=1}^na_ia_ja_ka_l\int_{E_2^n}r_i(\varepsilon )r_j(\varepsilon )r_k(\varepsilon )r_l(\varepsilon )d\mu (\varepsilon ) =3\sum_{i,j=1}^na_i^2a_j^2-2\sum_{i=1}^na_i^4.

Άσκηση: Εξηγήστε αυτήν την ισότητα χρησιμοποιώντας το γεγονός (άσκηση κι αυτό) ότι αν p_1,\ldots ,p_n είναι μη αρνητικοί ακέραιοι που δεν είναι όλοι άρτιοι, τότε \int_{E_2^n}r_1^{p_1}\cdots r_n^{p_n}d\mu =0.

Έπεται τώρα ότι \| f\|_4^4\leq 3\sum_{i=1}^na_i^2\cdot\sum_{j=1}^na_j^2=3\| f\|_2^4. Άρα, \| f\|_4\leq \sqrt[4]{3}\,\| f\|_2. Αυτό δείχνει ότι B_4\leq \sqrt[4]{3}, οπότε και A_1\geq 1/\sqrt{3}. Η βέλτιστη όμως τιμή είναι A_1=1/\sqrt{2}.

Ο υπολογισμός που κάναμε μας δίνει την ιδέα για μια δεύτερη απόδειξη της ανισότητας του Khintchine.

Άσκηση: Εξετάστε την περίπτωση που ο p=2k είναι άρτιος φυσικός. Τότε, \| f\|_p^p=\| f\|_{2k}^{2k}=\int_{E_2^n}\left |\sum_{i=1}^na_ir_i(\varepsilon )\right |^{2k}d\mu (\varepsilon ). Εκτιμήστε αυτό το ολοκλήρωμα, χρησιμοποιώντας την "ορθογωνιότητα" των r_i, όπως κάναμε στην περίπτωση p=4. Αυτή η μέθοδος πρέπει λογικά να δώσει B_{2k}\leq c\sqrt{2k}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Φεβ 2007, 16:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2951
Παράθεση:
Πρόβλημα: Η ανισότητα B_p\leq cp δεν δίνει τη σωστή τάξη μεγέθους της σταθεράς B_p για μεγάλα p. Η "σωστή εξάρτηση" από το p είναι B_p\simeq\sqrt{p}.


Ένα τέχνασμα που επιτρέπει, χρησιμοποιώντας την ιδέα της πρώτης απόδειξης, να πετύχουμε την εξάρτηση B_p\leq c\sqrt{p} για p>2.

Ορίζουμε f(\varepsilon )=\sum_{i=1}^na_ir_i(\varepsilon ), θεωρούμε \lambda >0 (το οποίο θα επιλεγεί κατάλληλα), και τώρα γράφουμε

\int_{E_2^n}e^{\lambda f(\varepsilon )}d\mu (\varepsilon ) = \int_{E_2^n}\prod_{i=1}^n\exp (\lambda a_ir_i(\varepsilon ))d\mu (\varepsilon ) =\prod_{i=1}^n\int_{E_2^n}\exp (\lambda a_ir_i(\varepsilon ))d\mu (\varepsilon )= \prod_{i=1}^n\cosh (\lambda a_i).

Συγκρίνοντας αναπτύγματα Taylor ελέγχουμε την ανισότητα \cosh (x)\leq\exp (x^2/2), οπότε συμπεραίνουμε ότι \int_{E_2^n}e^{\lambda f(\varepsilon )}d\mu (\varepsilon ) \leq\prod_{i=1}^n\exp (\lambda^2a_i^2/2)=\exp\left (\tfrac{1}{2}\lambda^2\sum_{i=1}^na_i^2\right ).

Λόγω συμμετρίας ισχύει και η \int e^{-\lambda f(\varepsilon )}d\mu (\varepsilon )\leq\exp\left (\tfrac{1}{2}\lambda^2\sum_{i=1}^na_i^2\right
). Δηλαδή, \int e^{\lambda |f(\varepsilon )|}d\mu (\varepsilon )\leq 2\exp\left (\tfrac{1}{2}\lambda^2\sum_{i=1}^na_i^2\right ).

Από την ανισότητα του Chebychev (ή, αν προτιμάτε, του Markov), για κάθε s>0 έχουμε [unparseable or potentially dangerous latex formula], δηλαδή [unparseable or potentially dangerous latex formula].

Αυτή η ανισότητα ισχύει για κάθε \lambda >0, οπότε, ελαχιστοποιώντας το δεξιό μέλος ως προς \lambda δηλαδή, επιλέγοντας \lambda = s\big (\sum_{i=1}^na_i^2\big )^{-1}, παίρνουμε \mu (\varepsilon <!-- s:| --><img src="{SMILIES_PATH}/icon_neutral.gif" alt=":|" title="Neutral" /><!-- s:| -->f(\varepsilon )|\geq s)\leq 2\exp\left (-\frac{s^2}{2\sum_{i=1}^na_i^2}\right )\leqno (1).

Άσκηση. \int_{E_2^n}|f|^pd\mu =\int_0^{\infty }ps^{p-1}\cdot \mu(\{\varepsilon :|f(\varepsilon )|\geq s\})\,ds.

Χρησιμοποιούμε την Άσκηση ως εξής: Παρατηρήστε ότι \sum_{i=1}^{n}a_i^2=\| f\|_2^2 και γράψτε \int_{E_2^n}|f|^pd\mu =\int_0^{\| f\|_2}ps^{p-1}\cdot \mu (\{\varepsilon :|f(\varepsilon )|\geq s\})\,ds +\int_{\| f\|_2}^{\infty }ps^{p-1}\cdot\mu (\{\varepsilon : | f(\varepsilon )|\geq s\})\, ds.

Στο πρώτο ολοκλήρωμα φράξτε το \mu (\{\varepsilon : |f(\varepsilon )|\geq s\}) από 1, ενώ στο δεύτερο φράξτε το από 2\exp\left (-s^2/2\| f\|_2^2\right ), χρησιμοποιώντας την (1).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανισότητα Khintchine
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Φεβ 2007, 21:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Νομίζω ότι το ολοκλήρωμα υπολογίζεται με το κλασικό τέχνασμα και το θεώρημα Fubini. Έχουμε διαδοχικά:
\int_{E_2^n}|f|^pd\mu=\int_{E_2^n}\int_0^{|f|}ps^{p-1}dsd\mu=\int_{E_2^n}\int_0^{\infty}ps^{p-1}\chi_{[0,|f|]}dsd\mu. Από το θεώρημα Fubini έχουμε ότι \int_0^{\infty}ps^{p-1}\bigg(\int_{E_2^n}\chi_{[0,|f|]}(s)d\mu\bigg) ds=\int_0^{\infty}ps^{p-1}\mu(\{\varepsilon:|f(\varepsilon)|\geq s\})ds.

Για την άσκηση που αφορά στην "ορθογωνιότητα" των r_i^{p_i} έχω την εντύπωση ότι έπεται από το γεγονός ότι τα r_i είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. Αλλά δε μπορώ να το εξηγήσω καλύτερα. Μου είναι διαισθητικά προφανές αλλά δε μπορώ να το γράψω. Βοήθεια :?:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Μαρ 2007, 22:07 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Γνωρίζει κανείς το περιέχει ακριβώς(?) αυτο του βιβλίου? Αν κάποιος το θεωρεί άσχετο
με το θέμα του topic να μου πει που να το βγάλω

D.S. Mitrinovic , J.E. Pearic , A.M. Fink, Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic,

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Μαρ 2007, 22:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2951
Αλέξη, θα επανέλθουμε σε αυτό το θέμα. Η ιδέα ήταν να δούμε με πλήρεις (αν γίνεται και περισσότερες από μία) αποδείξεις κάποιες κλασικές ανισότητες. Θέλει κάποια δουλειά αυτό.

Για την ερώτησή σου τώρα:

Mitrinovic, D. S.; Pecaric, J. E.; Fink, A. Μ.: Classical and new inequalities in analysis. (English summary)
Mathematics and its Applications (East European Series), 61. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993. xviii+740 pp. ISBN: 0-7923-2064-6

Δες και τη διεύθυνση

http://www.springer.com/west/home/math/ ... mmedia|toc

Τα περιεχόμενα του βιβλίου:

Preface. Organization of the Book. Notations.

I. Convex Functions and Jensen's Inequality.

II. Some Recent Results Involving Means.

III. Bernoulli's Inequality.

IV. Cauchy's and Related Inequalities.

V. Holder and Minkowski Inequalities.

VI. Generalized Holder and Minkowski Inequalities.

VII. Connections Between General Inequalities.

VIII. Some Determinantal and Matrix Inequalities.

IX. Cebysev's Inequality.

X. Gruss' Inequality.

XI. Steffensen's Inequality.

XII. Abel's and Related Inequalities.

XIII. Some Inequalities for Monotone Functions.

XIV. Young's Inequality.

XV. Bessel's Inequality.

XVI. Cyclic Inequations.

XVII. The Centroid Method in Inequalities.

XVII. Triangle Inequalities.

XVIII. Norm Inequalities.

XIX. More on Norm Inequalities.

XX. Gram's Inequality.

XXI. Frejer-Jackson's Inequalities and Related Results.

XXII. Mathieu's Inequality.

XXIII. Shannon's Inequality.

XXIV. Turan's Inequality from the Power Sum Theory.

XXV. Continued Fractions and Pad&eacute; Approximation Method.

XXVI. Quasilinearization Methods for Proving Inequalities.

XXVIII. Dynamic Programming and Functional Equation Approaches to Inequalities.

XXIX. Interpolation Inequalities.

XXX. Minimax Inequalities.

Name Index.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Μαρ 2007, 22:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Ευχάριστω!

Θα συνεχίσω με περίγραφη της "Power Mean Inequality" αύριο, μιας και το Θέμα
είναι πολύ ενδιαφέρον.

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 36 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group