forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Μάιος 2018, 13:43

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Κύβος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιαν 2007, 00:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2982
Υπάρχουν πολλά πράγματα που δεν γνωρίζουμε για τον [tex]n[/tex]-διάστατο κύβο.


Πρώτο: Θεωρούμε τον κύβο [tex]C_n=\left [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right ]^n[/tex] όγκου [tex]1[/tex] στον [tex]{\mathbb R}^n[/tex]. Για κάθε [tex](n-1)[/tex]-διάστατο γραμμικό υπόχωρο [tex]H[/tex] του [tex]{\mathbb R}^n[/tex] θεωρούμε την τομή [tex]C_n\cap H[/tex] του [tex]C_n[/tex] με τον [tex]H[/tex] και γράφουμε [tex]|C_n\cap H|[/tex] για τον όγκο της.

Άσκηση (εύκολη): Δείξτε ότι αν [tex]n=2[/tex] τότε [tex]1\leq |C_n\cap H|\leq\sqrt{2}[/tex] για κάθε [tex]H[/tex] και ότι τα δύο φράγματα δεν βελτιώνονται. Ποιές είναι οι περιπτώσεις ισότητας;

Άσκηση (δυσκολότερη): Δείξτε ότι αν [tex]n=3[/tex] τότε [tex]1\leq |C_n\cap H|\leq\sqrt{2}[/tex] για κάθε [tex]H[/tex] και ότι τα δύο φράγματα δεν βελτιώνονται. Ποιές είναι οι περιπτώσεις ισότητας;

Πρόβλημα (δύσκολο, έχει όμως λυθεί): Για τυχόν [tex]n[/tex] υπολογίστε τα

[tex]\min_H |C_n\cap H|[/tex] και [tex]\max_H |C_n\cap H|[/tex].

Μπορείτε να μαντέψετε την απάντηση;



Δεύτερο: Θεωρούμε τον κύβο [tex]Q_n=[-1,1]^n[/tex], με άλλα λόγια, τη μοναδιαία μπάλα του [tex]\ell_{\infty }^n[/tex]. Δείξτε ότι για κάθε ορθογώνιο μετασχηματισμό [tex]U\in O(n)[/tex] υπάρχει κορυφή [tex]x[/tex] του [tex]Q_n[/tex] με την ιδιότητα

[tex]\| U(x)\|_{\infty }\leq C\sqrt{\log n},[/tex]

όπου [tex]C>0[/tex] απόλυτη σταθερά. Δηλαδή, όπως και να "στρίψουμε" τον κύβο, κάποια από τις "νέες κορυφές" θα έχει όλες τις συντεταγμένες της μικρές κατ' απόλυτη τιμή.

Πρόβλημα (ανοικτό): Μπορούμε να αποδείξουμε το ίδιο με [tex]C[/tex] αντί του [tex]C\sqrt{\log n}[/tex]; Θέλουμε δηλαδή η σταθερά [tex]C[/tex] να μην εξαρτάται ούτε από το [tex]n[/tex] ούτε από τον [tex]U\in O(n)[/tex].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2007, 20:51 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Aπο καθαρο ενδιαφερον χωρις να καταλαβαινω τιποτα, ποιος κλαδος των μαθηματοκων ασχολειται με τετοια προβληματα?

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιαν 2007, 19:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2982
sef έγραψε:
Aπο καθαρο ενδιαφερον χωρις να καταλαβαινω τιποτα, ποιος κλαδος των μαθηματικων ασχολειται με τετοια προβληματα?


Αλέξη, η βιβλιογραφία για τον κύβο είναι απίστευτα πλούσια. Υπάρχουν χιλιάδες προβλήματα τα οποία διατυπώνονται πολύ απλά και μένουν ανοικτά. Να δώσω ένα δείγμα μόνο από κλάδους των μαθηματικών όπου παίζει σημαντικό ρόλο (κάτι σαν key words):

Asymptotic Geometric Analysis
Geometric Functional Analysis
Isometric Convex Geometry
Discrete and Computational Geometry
Asymptotic Combinatorics
Randomised Computation and Complexity
Statistical Learning Theory
Isoperimetric Principles in Geometry and Probability
Concentration of measure

Σχετικά με τα πρώτα δύο προβλήματα:

Πρώτο: Η απάντηση στο γενικό πρόβλημα (για κάθε διάσταση) είναι ένα κλασικό άποτέλεσμα του Keith Ball (1985). Ένα από τα πιό γνωστά ανοικτά προβλήματα της "σύγχρονης κυρτής γεωμετρίας" είναι το slicing problem. Τι μπορούμε να πούμε για τον όγκο των τομών αν στη θέση του κύβου πάρουμε τυχόν κυρτό σώμα;

Μια εξαιρετική παραπομπή που θα σε βάλει στο θέμα: Keith Ball, An elementary introduction to modern convex geometry.

http://www.msri.org/publications/books/ ... s/ball.pdf

Η άσκηση που προτείνω είναι να δείτε τι γίνεται στις τρείς διαστάσεις: οι επίπεδες κεντρικές τομές του κύβου είναι παραλληλόγραμμα ή εξάγωνα (το βλέπετε; ). Πώς θα εκτιμήσετε το εμβαδόν τους με τόση ακρίβεια ώστε να πείτε ποιά τομή έχει το μικρότερο και ποιά το μεγαλύτερο εμβαδόν; Νομίζω ότι είναι απολύτως κατανοητή άσκηση στερεομετρίας.

Δεύτερο: Το θέμα εδώ είναι η λεγόμενη Discrepancy Theory. Βασικές παραπομπές είναι τα βιβλία των Matousek και Chazelle. Αξιζει τον κόπο να επισκεφθείτε την προσωπική σελίδα του Bernard Chazelle,

http://www.cs.princeton.edu/~chazelle/

ο οποίος παρέχει ελεύθερα και το βιβλίο του: The discrepancy method.

http://www.cs.princeton.edu/~chazelle/pubs/book.pdf

Η συγκεκριμένη άσκηση που προτείνω σχετίζεται με την εικασία του Komlos, την οποία σου έχω αναφέρει και παλιότερα (key words: balancing vectors, Beck-Fiala theorem, Komlos conjecture). Η απάντηση σε αυτά τα ερωτήματα θα έχει "άπειρες" εφαρμογές στην συνδυαστική και στην συναρτησιακή ανάλυση. Για την αντιμετώπιση της άσκησης θα βοηθήσει κάποια γνώση θεωρίας πιθανοτήτων (μην ξεχνάμε ότι εδώ συζητάμε, αν θέλουμε, και πιο προχωρημένα θέματα). Το (ανοικτό) πρόβλημα είναι ακριβώς η εικασία του Komlos στην ειδική περίπτωση που τα διανύσματα σου είναι κάθετα ανά δύο.

Να προσθέσω κι ένα τρίτο πρόβλημα (του Littlewood, έχει απαντηθεί αλλά το ενδιαφέρον σημείο είναι με ποιόν τρόπο):

Τρίτο: Θεωρούμε τον κύβο [tex]Q_n=[-1,1]^n[/tex] στον [tex]{\mathbb R}^n[/tex] και γράφουμε [tex]E^n=\{ -1,1\}^n[/tex] για το σύνολο των κορυφών του. Για κάθε [tex](n-1)[/tex]-διάστατο γραμμικό υπόχωρο [tex]H[/tex] του [tex]{\mathbb R}^n[/tex] θεωρούμε τον αριθμητικό μέσο των αποστάσεων των κορυφών του κύβου από τον [tex]H[/tex]:

[tex]\alpha (H,n)=\frac{1}{2^n}\sum_{x\in E^n}d(x,H)[/tex]

(όπου [tex]d(x,H)[/tex] η Ευκλείδεια απόσταση του [tex]x[/tex] από τον [tex]H[/tex]).

Άσκηση (εύκολη): Δείξτε ότι αν [tex]n=2[/tex] τότε [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}\leq\alpha (H,n)\leq 1[/tex] για κάθε [tex]H[/tex] και ότι τα δύο φράγματα δεν βελτιώνονται. Ποιές είναι οι περιπτώσεις ισότητας;

Άσκηση (δυσκολότερη): Δείξτε ότι αν [tex]n=3[/tex] τότε [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}\leq\alpha (H,n)\leq 1[/tex] για κάθε [tex]H[/tex] και ότι τα δύο φράγματα δεν βελτιώνονται. Ποιές είναι οι περιπτώσεις ισότητας;

Πρόβλημα (δύσκολο, έχει όμως λυθεί): Για τυχόν [tex]n[/tex] υπολογίστε τα [tex]\min_H\alpha (H,n)[/tex] και [tex]\max_H\alpha (H,n)[/tex].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Στο πνεύμα των ημερών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Ιαν 2007, 12:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2982
Αρμονική Ανάλυση στον διακριτό κύβο και ... πολιτική.

Gil Kalai, A Fourier-Theoretic perspective on the Condorcet paradox and Arrow's Theorem:

http://www.ma.huji.ac.il/~kalai/arr.pdf

Περισσότερα στην διεύθυνση

http://www.ma.huji.ac.il/~kalai/papers.html


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Φεβ 2007, 10:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2982
Παράθεση:
Πρόβλημα του Littlewood: Θεωρούμε τον κύβο [tex]Q_n=[-1,1]^n[/tex] στον [tex]{\mathbb R}^n[/tex] και γράφουμε [tex]E_2^n=\{ -1,1\}^n[/tex] για το σύνολο των κορυφών του. Για κάθε [tex](n-1)[/tex]-διάστατο γραμμικό υπόχωρο [tex]H[/tex] του [tex]{\mathbb R}^n[/tex] θεωρούμε τον αριθμητικό μέσο των αποστάσεων των κορυφών του κύβου από τον [tex]H[/tex]:

[tex]\alpha (H,n)=\frac{1}{2^n}\sum_{\varepsilon\in E_2^n}d(\varepsilon,H)[/tex]

(όπου [tex]d(x,H)[/tex] η Ευκλείδεια απόσταση του [tex]x[/tex] από τον [tex]H[/tex]). Για τυχόν [tex]n[/tex] υπολογίστε τα [tex]\min_H\alpha (H,n)[/tex] και [tex]\max_H\alpha (H,n)[/tex].


Το πρόβλημα σχετίζεται άμεσα με την ανισότητα του Khintchine: έστω [tex]y\in S^{n-1}[/tex] το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα του [tex]H[/tex]. Τότε, αν [tex]\varepsilon =(\varepsilon_1,\ldots ,\varepsilon_n)\in E_2^n[/tex], έχουμε [tex]d(\varepsilon ,H)=|\langle\varepsilon ,y\rangle | [/tex]. Συνεπώς,

[tex]\alpha (H,n)=\frac{1}{2^n}\sum_{\varepsilon\in E_2^n}d(\varepsilon ,H)=\frac{1}{2^n}\sum_{\varepsilon\in E_2^n}|\langle \varepsilon ,y\rangle |=
{\rm Ave}\,|\langle\varepsilon ,y\rangle |.[/tex]

Από την άλλη πλευρά, ο κανόνας του παραλληλογράμμου δείχνει ότι:

[tex]1=\sqrt{y_1^2+\cdots +y_n^2}=\left ({\rm Ave}\,|\langle\varepsilon ,y\rangle |^2\right )^{1/2}.[/tex]

Αυτό λοιπόν που θέλουμε να δείξουμε είναι ότι, για την συνάρτηση [tex]f:E_2^n\to {\mathbb R}[/tex] με [tex]f(\varepsilon )=\langle\varepsilon ,y\rangle [/tex] ισχύει

[tex]\| f\|_1\leq\| f\|_2\leq \sqrt{2}\| f\|_1.[/tex]

Το πρόβλημα του Littlewood λύθηκε όταν βρέθηκε η βέλτιστη τιμή της σταθεράς [tex]A_1[/tex] στην ανισότητα του Khintchine (Stanislaw Szarek, 1975). Η συνέχεια στο θέμα "ανισότητες με ονοματεπώνυμο".


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Κύβος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Μαρ 2007, 21:30 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2982
Παράθεση:
Θεωρούμε τον κύβο [tex]C_n=[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}]^n[/tex] όγκου [tex]1[/tex] στον [tex]{\mathbb R}^n[/tex]. Για κάθε [tex](n-1)[/tex]-διάστατο γραμμικό υπόχωρο [tex]H[/tex] του [tex]{\mathbb R}^n[/tex] θεωρούμε την τομή [tex]C_n\cap H[/tex] του [tex]C_n[/tex] με τον [tex]H[/tex] και γράφουμε [tex]|C_n\cap H|[/tex] για τον όγκο της.

Άσκηση (εύκολη): Δείξτε ότι αν [tex]n=2[/tex] τότε [tex]1\leq |C_n\cap H|\leq\sqrt{2}[/tex] για κάθε [tex]H[/tex] και ότι τα δύο φράγματα δεν βελτιώνονται. Ποιές είναι οι περιπτώσεις ισότητας;

Άσκηση (δυσκολότερη): Δείξτε ότι αν [tex]n=3[/tex] τότε [tex]1\leq |C_n\cap H|\leq\sqrt{2}[/tex] για κάθε [tex]H[/tex] και ότι τα δύο φράγματα δεν βελτιώνονται. Ποιές είναι οι περιπτώσεις ισότητας;

Πρόβλημα (δύσκολο, έχει όμως λυθεί): Για τυχόν [tex]n[/tex] υπολογίστε τα

[tex]\min_H |C_n\cap H|[/tex] και [tex]\max_H |C_n\cap H|[/tex].


Υπάρχει στοιχειώδης απόδειξη στην περίπτωση των τριών διαστάσεων (ας την αφήσουμε σαν πρόβλημα). Η απάντηση (για τη μέγιστη τομή) στον [tex]{\mathbb R}^n[/tex] είναι [tex]\max_H|C_n\cap H|=\sqrt{2}[/tex], για κάθε [tex]n\geq 2[/tex]. Η μέθοδος όμως απόδειξης δεν είναι καθόλου στοιχειώδης:

Έστω [tex]u=(u_1,\ldots ,u_n)[/tex] ένα μοναδιαίο διάνυσμα στον [tex]{\mathbb R}^n[/tex]. Ορίζουμε [tex]f(u,t)=|\{ x\in C_n:\langle x,u\rangle =t\}|[/tex].

Θεώρημα (K. Ball). Για κάθε [tex]t\in {\mathbb R}[/tex] και για κάθε [tex]u\in S^{n-1}[/tex] ισχύει [tex]f(u,t)\leq\sqrt{2}[/tex].

Για την απόδειξη διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: (α) [tex]\| u\|_{\infty }>\tfrac{1}{\sqrt{2}}[/tex] και (β) [tex]\| u\|_{\infty }\leq\tfrac{1}{\sqrt{2}}[/tex].

Άσκηση 1. Η περίπτωση (α) είναι σχετικά απλή.

Υποθέτουμε λοιπόν ότι [tex]\| u\|_{\infty }\leq\tfrac{1}{\sqrt{2}}[/tex]. Η απόδειξη χρησιμοποιεί μετασχηματισμό Fourier. Από τον ορισμό της [tex]f(u,\cdot )[/tex] και το θεώρημα Fubini, βλέπουμε ότι

[tex]\hat{f}(r)=\int_{{\mathbb R}}f(u,t)\,e^{-2\pi i tr}\,dt [/tex] [tex]=\int_{C_n}e^{-2\pi i\langle x,u\rangle r}\,dx[/tex] [tex]=\prod_{k=1}^n\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi iru_kx_k}\,dx_k[/tex] [tex]=\prod_{k=1}^n\frac{\sin (\pi u_kr)}{\pi u_kr}[/tex].

Από τον τύπο αντιστροφής παίρνουμε [tex]f(u,t)=\int_{{\mathbb R}}\hat{f}(r)e^{2\pi irt}\,dr[/tex] [tex]=\int_{-\infty }^{\infty }e^{2\pi irt}\prod_{k=1}^n\frac{\sin (\pi u_kr)}{\pi u_kr}\,dr[/tex].

Συνεπώς, [tex]f(u,t)\leq\int_{-\infty }^{\infty }\prod_{k=1}^n\big |\frac{\sin (\pi u_kr)}{\pi u_kr}\big |\,dr[/tex].

Αφού [tex]u\in S^{n-1}[/tex], έχουμε [tex]u_1^2+\cdots +u_n^2=1[/tex]. Τότε, η ανισότητα του Holder δίνει [tex]f(u,t)\leq\prod_{k=1}^n\left (\int_{{\mathbb R}}\big |\frac{\sin (\pi u_kr)}{\pi u_kr}\big |^{1/u_k^2}dr\right )^{u_k^2}[/tex].

Aλλαγή μεταβλητής δείχνει ότι [tex]\int_{{\mathbb R}}\big |\frac{\sin (\pi u_kr)}{\pi u_kr}\big |^{1/u_k^2}dr=\frac{1}{u_k}\int_{{\mathbb R}}\big |\frac{\sin (\pi r)}{\pi r}\big |^{1/u_k^2}dr[/tex].

Πρόβλημα. Για κάθε [tex]p\geq 2[/tex] ισχύει [tex]\int_{{\mathbb R}}\big |\frac{\sin (\pi r)}{\pi r}\big |^pdr\leq\sqrt{\frac{2}{p}}[/tex].

Η ανισότητα αυτή αποδείχθηκε από τον K. Ball (για [tex]p=2[/tex] είναι γνωστό ότι ισχύει σαν ισότητα). Με λυμένο το πρόβλημα, συνεχίζουμε ως εξής:

[tex]f(u,t)\leq \prod_{k=1}^n\left (\frac{1}{u_k}\sqrt{2u_k^2}\right )^{u_k^2}=\prod_{k=1}^n(\sqrt{2})^{u_k^2}[/tex] [tex]=(\sqrt{2})^{\sum_{k=1}^nu_k^2}=\sqrt{2}[/tex].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group