forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2018, 12:07

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Δεκ 2006, 21:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 09 Μαρ 2006, 14:43
Δημοσ.: 2767
Τοποθεσια: White Hart Lane
Βρήκα την παρακάτω άσκηση:
Αν υπάρχει το [tex]\lim_{\left( x,y \right) \to \left( x_0 , y_0 \right) } f \left( x , y \right)[/tex] και υπάρχουν τα [tex]\lim_{y \to y_0} f \left( x , y \right)[/tex] και είναι [tex]= \alpha \left( x \right) \forall x[/tex] τότε υπάρχει το [tex]\lim_{x \to x_0} \alpha \left( x \right) = l[/tex];

Μια λύση που σκέφτηκα είναι η εξής:
Έστω [tex]\varepsilon > 0[/tex]. Τότε υπάρχει [tex]\delta_1[/tex] ώστε για [tex]|| \left( x,y \right) - \left( x_0,y_0 \right) || = \sqrt{\left( x- x_0\right)^2 + \left( y- y_0\right)^2} < \delta_1 [/tex] με
[tex]|f\left( x,y \right) - l| < \frac{\varepsilon}{2}[/tex]
και ομοίως, υπάρχει [tex]\delta_2[/tex] ώστε για [tex]|y - y_0| < \frac{\varepsilon}{2}[/tex] να έχω:
[tex]|f \left( x,y \right) - \alpha \left( x \right)| < \frac{\varepsilon}{2}[/tex].

Έτσι, [tex]\forall x,y[/tex] ώστε [tex]|| \left( x,y \right) - \left( x_0,y_0 \right) ||< min \left\{ \delta_1,\delta_2 \right\}[/tex] έχω:
[tex]| \alpha \left( x \right) - l |=[/tex] [tex]| \alpha \left( x \right) - f \left( x , y \right) + f \left( x , y \right) - l | \leq[/tex]
[tex]| \alpha \left( x \right) - f \left( x , y \right) |[/tex] [tex] + | f \left( x , y \right) - l | < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon[/tex].

Μου φαίνεται απλή η άσκηση, αλλά έχω την αίσθηση ότι κάτι έχω κάνει λάθος. Any help?

_________________
Lab Radio


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Δεκ 2006, 16:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3026
yosi έγραψε:
Βρήκα την παρακάτω άσκηση:
Αν υπάρχει το [tex]\lim_{\left( x,y \right) \to \left( x_0 , y_0 \right) } f \left( x , y \right)[/tex] και υπάρχουν τα [tex]\lim_{y \to y_0} f \left( x , y \right)[/tex] και είναι [tex]= \alpha \left( x \right) \forall x[/tex] τότε υπάρχει το [tex]\lim_{x \to x_0} \alpha \left( x \right) = l[/tex];

Μια λύση που σκέφτηκα είναι η εξής:
Έστω [tex]\varepsilon > 0[/tex]. Τότε υπάρχει [tex]\delta_1[/tex] ώστε για [tex]|| \left( x,y \right) - \left( x_0,y_0 \right) || = \sqrt{\left( x- x_0\right)^2 + \left( y- y_0\right)^2} < \delta_1 [/tex] με
[tex]|f\left( x,y \right) - l| < \frac{\varepsilon}{2}[/tex]
και ομοίως, υπάρχει [tex]\delta_2[/tex] ώστε για [tex]|y - y_0| < \frac{\varepsilon}{2}[/tex] να έχω:
[tex]|f \left( x,y \right) - \alpha \left( x \right)| < \frac{\varepsilon}{2}[/tex].

Έτσι, [tex]\forall x,y[/tex] ώστε [tex]|| \left( x,y \right) - \left( x_0,y_0 \right) ||< min \left\{ \delta_1,\delta_2 \right\}[/tex] έχω:
[tex]| \alpha \left( x \right) - l |=[/tex] [tex]| \alpha \left( x \right) - f \left( x , y \right) + f \left( x , y \right) - l | \leq[/tex]
[tex]| \alpha \left( x \right) - f \left( x , y \right) |[/tex] [tex] + | f \left( x , y \right) - l | < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon[/tex].

Μου φαίνεται απλή η άσκηση, αλλά έχω την αίσθηση ότι κάτι έχω κάνει λάθος. Any help?


Yosi, χρόνια πολλά και καλά, είναι σωστό αυτό που ζητάς αλλά το επιχείρημα δεν είναι σωστό. Το λάθος βρίσκεται στο [tex]\delta_2[/tex] το οποίο εξαρτάται κάθε φορά από το [tex]x[/tex] (δεν είναι πάντα το ίδιο), οπότε πώς ορίζεται μετά το [tex]\min\{\delta_1,\delta_2\}[/tex];

Δοκίμασε απαγωγή σε άτοπο: έστω ότι δεν ισχύει η [tex]\lim_{x \to x_0} \alpha \left( x \right) = l[/tex]. Τότε,

(α) υπάρχει [tex]\varepsilon >0[/tex] ώστε για κάθε [tex]\delta >0[/tex] να υπάρχει [tex]x\neq x_0[/tex] με [tex]|x-x_0|<\delta[/tex] και [tex]|\alpha (x)-l|\geq\varepsilon [/tex].

Τώρα, αφού [tex]\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=l[/tex], υπάρχει [tex]\delta >0[/tex] ώστε: αν το [tex](x,y)\neq (x_0,y_0)[/tex] ανήκει στον ανοικτό δίσκο με κέντρο [tex](x_0,y_0)[/tex] και ακτίνα [tex]\delta[/tex] να έχεις [tex]|f(x,y)-l|<\frac{\varepsilon }{2}[/tex].

Μέσα σε αυτόν τον δίσκο όμως, μπορείς να βρείς σημείο [tex](x_1,y_0)[/tex] για το οποίο [tex]|\alpha (x_1)-l|\geq\varepsilon [/tex] - από το (α).

Επίσης, αφού [tex]\lim_{y\to y_0}f(x_1,y)=\alpha (x_1)[/tex], μπορείς να βρείς [tex](x_1,y_1)[/tex] στο δίσκο, με την ιδιότητα [tex]|f(x_1,y_1)-\alpha (x_1)|<\frac{\varepsilon }{2}[/tex].

Τότε,

[tex]\varepsilon\leq |\alpha (x_1)-l|\leq |\alpha (x_1)-f(x_1,y_1)|+|f(x_1,y_1)-l|<\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon ,[/tex]

το οποίο είναι άτοπο.

Επιλέγοντας δηλαδή "εις άτοπον απαγωγή" μπορείς να δουλέψεις "με ένα μόνο [tex]x_1[/tex]".


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Δεκ 2006, 19:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 09 Μαρ 2006, 14:43
Δημοσ.: 2767
Τοποθεσια: White Hart Lane
Ok! Κατάλαβα! Ευχαριστώ και χρονιά πολλά και σε σας!

_________________
Lab Radio


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group