forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 14 Δεκ 2018, 17:37

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: πρόβλημα θεωρίας μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Μαρ 2012, 22:29 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Ιαν 2010, 18:38
Δημοσ.: 30
Τοποθεσια: Θεσσαλονίκη
Έστω f μετρήσιμη συνάρτηση , και Τ>0 μία περίοδος της f. Αν\int _{0}^{T}{\left |f \left( x \right)\right |} {dx}<\infty
τότε να δείξετε ότι το όριο
\lim _{x\rightarrow \infty}{{\frac{1}{2x}}{\int _{-x}^{x}\!f \left( t \right) {dt}}}
υπάρχει και είναι ίσο με:

{\frac{1}{T}}{\int_{0}^{T}f\left(t\right) {dt}}


Τελευταία επεξεργασία απο Dimitris_Nt την 29 Μαρ 2012, 23:36, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: πρόβλημα θεωρίας μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Μαρ 2012, 23:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 15 Απρ 2010, 12:38
Δημοσ.: 101
Έχω την εντύπωση ότι είναι λάθος. Π.χ. για f(x) = cosx


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: πρόβλημα θεωρίας μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Μαρ 2012, 23:37 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Ιαν 2010, 18:38
Δημοσ.: 30
Τοποθεσια: Θεσσαλονίκη
fo@ έγραψε:
Έχω την εντύπωση ότι είναι λάθος. Π.χ. για f(x) = cosx

έχεις δίκιο , το όριο είναι για χ τείνει στο άπειρο , και όχι στο 0 , το διόρθωσα - τώρα η διατύπωση είναι σίγουρα σωστή


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: πρόβλημα θεωρίας μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2012, 03:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 432
Για x>0, θέσε a_x=\left[\frac{x}{T}\right]. Τότε \frac{x}{T}\leq a_x\leq\frac{x}{T}+1, άρα 0\leq x-(a_x-1)T\leq T. Επιπλέον, για x>0,

\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\,dt=\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{a_x-2}\int_{kT}^{(k+1)T}f(t)\,dt+\frac{1}{x}\int_{(a_x-1)T}^xf(t)\,dt=\frac{a_x-2}{x}\int_0^Tf(t)\,dt+\frac{1}{x}\int_{(a_x-1)T}^xf(t)\,dt.

Ο τελευταίος όρος πάει στο 0 όταν το x\to\infty, γιατί ολοκληρώνεις την f σε διάστημα με μήκος μικρότερο ή ίσο του T, άρα \left|\frac{1}{x}\int_{(a_x-1)T}^xf(t)\,dt\right|\leq\frac{1}{x}\int_{(a_x-1)T}^x|f(t)|\,dt\leq\frac{1}{x}\int_0^T|f(t)|\,dt\to 0. Επίσης, για τον πρώτο όρο έχεις ότι \frac{x}{T}\leq a_x\leq\frac{x}{T}+1\Rightarrow \frac{1}{T}\leq\frac{a_x}{x}\leq\frac{1}{T}+\frac{1}{x}, άρα \frac{a_x-2}{x}\to\frac{1}{T} όταν το x\to\infty. Άρα τελικά \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\,dt=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)\,dt.

Ομοίως έχεις ότι \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\int_{-x}^0f(t)\,dt=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)\,dt, άρα τελικά \lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}\int_{-x}^xf(t)\,dt=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)\,dt.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: πρόβλημα θεωρίας μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2012, 07:53 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Ιαν 2010, 18:38
Δημοσ.: 30
Τοποθεσια: Θεσσαλονίκη
ωραία είναι η απόδειξη, αλλα νομίζω δεν έχει χρησιμοποιηθεί η υπόθεση της μετρησιμότητας της f(και μάλλον πρέπει να χρησιμοποιηθει).
από τη διατύπωση του προβλήματος ( "να δείξετε ότι ΥΠΑΡΧΕΙ, και Είναι ίσο με...." )
πιστεύω πως αν δείξουμε πρώτα ότι υπάρχει το όριο για μια μετρήσιμη συνάρτηση , στη συνέχεια εύκολα βρίσκουμε το όριο θέτοντας χ= κΤ , για κ τείνει στο άπειρο.
και μάλιστα , το όριο αυτό θυμίζει κάπως την μετρική πυκνότητα ενός συνόλου ( μόνο που εδώ έχουμε συνάρτηση) , και γι'αυτό πιστεύω πως μπορούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη του ορίου με χρήση της μετρησιμότητας της f

**διόρθωση: τελικά έχει χρησιμοποιηθεί η μετρησιμότητα της f , αφού για να χωρίσουμε τα ολοκληρώματα υπάρχει αυτή η προυπόθεση.
(απλά περίμενα να δω να χρησιμοποιείται ο ορισμός της μετρήσιμης συνάρτησης)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: πρόβλημα θεωρίας μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2012, 23:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 432
Η μετρησιμότητα χρησιμοποιείται αρχικά για να μπορούμε να μιλήσουμε για το ολοκλήρωμα της f. Επίσης, αφού η ποσότητα μέσα στο όριο γράφεται ως άθροισμα δύο ποσοτήτων που έχουν όριο στο άπειρο, το όριο υπάρχει.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: πρόβλημα θεωρίας μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Απρ 2012, 19:40 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Ιαν 2010, 18:38
Δημοσ.: 30
Τοποθεσια: Θεσσαλονίκη
ναι έχεις δίκιο! και πάλι πολύ ωραία απόδειξη!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group