forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Δεκ 2018, 02:13

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Bασικές ασκήσεις Απειροστικου Λογισμου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Ιαν 2012, 14:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιούλ 2010, 01:18
Δημοσ.: 107
Aς αρχίσω ενα θέμα με ασκήσεις Απειροστικου Λογισμου.

1) Να υπολογιστεί η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων:
a) f(x)= \frac{xe^{2x} + 1}{e^{2x}},

b) f(x)= \frac{x^2}{x+1-lnx},

c) f(x)= \frac{x^2}{(x+1-lnx)^n}, n \in \mathbb{N}..

Spoiler:
Λύση της α).
a) f'(x)= ( \frac{xe^{2x} + 1}{e^{2x}})'
= \frac{(xe^{2x}+1)'e^{2x} - (xe^{2x}+1)(e^{2x})'}{(e^{2x})^2}
= \frac{(xe^{2x})'e^{2x} - (2x)'(xe^{2x}+1)e^{2x}}{e^{4x}}

= \frac{[(x)'e^{2x}+x(e^{2x})']e^{2x} - 2(xe^{2x}+1)e^{2x}}{e^{4x}}

= \frac{[e^{2x}+(2x)'xe^{2x}]e^{2x}}{e^{4x}} - \frac{2(xe^{2x}+1)e^{2x}}{e^{4x}}

= \frac{e^{4x} + 2xe^{4x}}{e^{4x}} - \frac{2xe^{4x}}{e^{4x}} - \frac{2e^{2x}}{e^{4x}}

= \frac{e^{4x}(1+2x)}{e^{4x}} - 2x - 2e^{-2x}

= 1 + 2x - 2x - 2e^{-2x}

= 1 - 2e^{-2x}.

Τελικά, f'(x)=1-2e^{-2x}.

και f''(x)=(f'(x))' = (1-2e^{-2x})' = -2(-2x)'e^{-2x}= 4e^{-2x}.


Spoiler:
Λύση της β).

f'(x) = ( \frac{x^2}{x+1-lnx})' = \frac{(x^2)'(x+1-lnx) - x^2(x+1-lnx)'}{(x+1-lnx)^2}

= \frac{2x(x+1-lnx) -x^2(1 - \frac{1}{x})}{(x+1-lnx)^2}

= \frac{2x(x+1-lnx)}{(x+1-lnx)^2} - \frac{x^2 \frac{x-1}{x}}{(x+1-lnx)^2}

= \frac{2x}{x+1-lnx} - \frac{x(x-1)}{(x+1-lnx)^2}

Τελικά, f'(x)=\frac{2x}{x+1-lnx} - \frac{x(x-1)}{(x+1-lnx)^2}.

f''(x)=(f'(x))' = (\frac{2x}{x+1-lnx} - \frac{x(x-1)}{(x+1-lnx)^2})' = \cdots


Spoiler:
Λύση της c).

f'(x) = ( \frac{x^2}{(x+1-lnx)^n})' = \frac{(x^2)'(x+1-lnx)^n - x^2[(x+1-lnx)^n]'}{[(x+1-lnx)^n]^2}

= \frac{2x(x+1-lnx)^n - nx^2[(x+1-lnx)^{n-1}](x+1-lnx)'}{(x+1-lnx)^{2n}}

= \frac{2x}{(x+1-lnx)^2} - \frac{nx^2[(x+1-lnx)^{n-1}](1 - \frac{1}{x})}{(x+1-lnx)^{2n}}

= \frac{2x}{(x+1-lnx)^2} - \frac{nx(x-1)[(x+1-lnx)^n]}{(x+1-lnx)^{2n} (x+1-lnx)}

= \frac{2x}{(x+1-lnx)^2} - \frac{nx(x-1)[(x+1-lnx)^n]}{(x+1-lnx)^{2n+1}}

= \frac{2x}{(x+1-lnx)^2} - \frac{nx(x-1)}{(x+1-lnx)^{2n+1} (x+1-lnx)^{-n}}

= \frac{2x}{(x+1-lnx)^2} - \frac{nx(x-1)}{(x+1-lnx)^{n+1}}

Άρα, f'(x) = \frac{2x}{(x+1-lnx)^2} - \frac{nx(x-1)}{(x+1-lnx)^{n+1}}.

π.χ. Για n=2,  f'(x) = \frac{2x}{(x+1-lnx)^2} - \frac{2x(x-1)}{(x+1-lnx)^3}


Ελπίζω να μην μου εχει ξεφύγει τίποτα.... :?

_________________
Για ΣΕΝΑ τραγουδώ . . .


Τελευταία επεξεργασία απο kostasrousmath την 28 Ιαν 2012, 19:31, επεξεργάστηκε 4 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Bασικές ασκήσεις Απειροστικου Λογισμου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Ιαν 2012, 16:25 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Φεβ 2008, 12:08
Δημοσ.: 78
kostasrousmath έγραψε:

Λύση της α).
....

και f''(x)=(f'(x))' = (1-2e^{-2x})' = -2(-2x)'e^{-2x}= 4xe^{-2x}.



Σου έχει ξεφύγει το x. To σωστό είναι f''(x)=4e^{-2x}


kostasrousmath έγραψε:
Λύση της β).
...
f'(x)=2x-\frac{x(x-1)}{x+1-lnx}


Την f'(x) την έχεις υπολογίσει λάθος. Σωστή απάντηση:

f'(x)=\frac{2x}{x+1-lnx}-\frac{x(x-1)}{(x+1-lnx)^2}

_________________
Σ'ένα άγριο όνειρο ξύπνησα παγωμένος,
κάποιος με ρώταγε μέσα από το μαύρο φώς:
Ποιός είναι ο δρόμος μου,αν ξέρω που πηγαίνω,
κι αν ξέρω ποιος από τους δυό μας είναι αυτός,
και ποιός εγώ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Bασικές ασκήσεις Απειροστικου Λογισμου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Ιαν 2012, 19:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιούλ 2010, 01:18
Δημοσ.: 107
Οοοοοοο ευχαριστώ....
Απο κεκτιμένη ταχύτητα τα χασα λίγο με την LaTeX

_________________
Για ΣΕΝΑ τραγουδώ . . .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Bασικές ασκήσεις Απειροστικου Λογισμου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Ιαν 2012, 21:56 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Φεβ 2008, 12:08
Δημοσ.: 78
Εννοείται, το έχω πάθει και εγώ :)

_________________
Σ'ένα άγριο όνειρο ξύπνησα παγωμένος,
κάποιος με ρώταγε μέσα από το μαύρο φώς:
Ποιός είναι ο δρόμος μου,αν ξέρω που πηγαίνω,
κι αν ξέρω ποιος από τους δυό μας είναι αυτός,
και ποιός εγώ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Bασικές ασκήσεις Απειροστικου Λογισμου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2012, 18:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιούλ 2010, 01:18
Δημοσ.: 107
Θέματα Απειροστικού Λογισμού Ι (όχι όλα)....
Πανεπιστήμιο Κρήτης - Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012
διδάσκοντες: Α.Τερτίκας - Α.Φειδάς

Θέμα 1ο Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:

a) \[ \int\limits_0^1 \frac{e^x}{1+e^x}\, \mathrm{d}x \]

b) \[ \int\limits_0^1 \frac{x^2}{x^2-5x+6}\, \mathrm{d}x \].

Θέμα 2ο Εξετάστε κατά πόσο συγκλίνουν οι σειρές:

a) \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{n^4+n^2+1} \]

b) \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{cosn}{n^2} \].

Θέμα 3ο
a) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση με τύπο f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, με τύπο

f(x) = \left\{\begin{array}{rc1} \frac{1-cosx}{x} & \mbox{for} & x \neq 0 \\ 0 & \mbox{for} & x = 0 \end{array}\right.
είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση. Βρείτε την παράγωγο αυτής.

b) Θεωρούμε την συνάρτηση g: [0, \infty] \longrightarrow \mathbb{R}, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0, \intfy] και τέτοια ώστε x \leq g'(x) \geq x^2, & \mbox{for}   x \succ 1
g(1)=1
Αποδείξτε ότι, \frac{1+x^2}{2} \leq g(x) \geq \frac{2+x^2}{3}, & \mbox{for}  x \geq 1

_________________
Για ΣΕΝΑ τραγουδώ . . .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Bασικές ασκήσεις Απειροστικου Λογισμου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2012, 20:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
1)a)\int_0^1 \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int_0^1 \frac{(1+e^x)'}{1+e^x} dx = \int_2^{1+e} (\ln y)'dy = \ln(\frac{1+e}{2})
β)\int_0^1 \frac{x^2}{x^2 -5x +6} dx = \int_0^1 \frac{x^2}{(x-2)(x-3)} dx.Aντικαθιστούμε το \frac{x^2}{x^2-5x+6}=\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3} και λύνουμε

2)a) n^4 + n^2 + 1 > n^4 + n^2 \Leftrightarrow \frac{n^2 +1}{n^4 + n^2}>\frac{n^2+1}{n^4 + n^2 + 1} \Rightarrow \frac{n^2 +1}{n^2 (n^2+1)} > \frac{n^2 +1}{n^4 + n^2 + 1}\Rightarrow \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{n^2+1}{n^4 + n^2 + 1} < + \infty
b)|\frac{\cos n}{n^2}| \leq \frac{1}{n^2} \Rightarrow \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{\cos n}{n^2} < + \infty

Για το 3 δεν προλαβαίνω να γράψω κάτι.Λογικά θα απαιτείς \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x)}{x} \in \mathbb{R} που ισχύει ότι μηδενίζεται και στο 0^{+} \ , \ 0^{-}
Για το b θα εννοείς x \leq g&#39;(x) \leq x^2 \ , x>1 \Rightarrow \int_1^{x} t dt \leq \int_1^{x} g&#39;(t) dt\leq \int_1^{x} t^2 dt \Rightarrow \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \leq g(x)-1 \leq \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{x^2 +1}{2} \leq g(x) \leq \frac{x^3 +2}{3}  \ , x>1 γενικά δεν μπορεί να ισχύει με \frac{x^2 +2}{3} γιατί για g&#39;(x)=x^2 \Rightarrow \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3} \geq \frac{x^2+2}{3} καθώς x\to \infty

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group