forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 14 Δεκ 2018, 13:18

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: summation.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιαν 2012, 20:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
If f(m,n) = 3m+n+(m+n)^2, then find the value of \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty} \; 2^{-f(m,n)}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: summation.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιαν 2012, 14:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
Αυτή είναι πονηρή...

Έστω :

n> m \wedge n=k-m

Τότε :

f=3m+k-m+(m+k-m)^{2}=2m+k(k+1)

Αυτό μάς λέει ότι η συνάρτηση τρέχει όλους τούς άρτιους...Απάτη δηλαδή η διπλή σειρά...Ουσιαστικά έχουμε :

\sum_{\lambda =0}^{\infty}\frac{1}{2^{2\lambda }}=\frac{4}{3}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: summation.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Ιαν 2012, 04:37 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
Thanks Apokalyptikos

But I want some explanation like changing the Limit and opening summation

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty} \; 2^{-f(m,n)}

Let m+n=k\Leftrightarrow n=k-m and f(m,n)=(m+n)+(m+n)^2+2m\Leftrightarrow f(m,k-m) = k+k^2+2m

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty} \; 2^{-f(m,k-m)}

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty} \; 2^{-(k+k^2+2m)}}

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty} \; 4^{-(k\frac{(k+1)}{2}+m)}}

Now after that how can i solve it

Thanks


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: summation.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Ιαν 2012, 20:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
No, no , this is not a normal exercise...it is like a puzzle. You need only recognize that the given formula «runs» all even numbers in a unique way...just put it in an excel…and «play» with..


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: summation.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Φεβ 2012, 05:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
Thanks Apokalyptikos got it


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group