forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Δεκ 2018, 01:53

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Maximum and Minimum
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Ιαν 2012, 14:19 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
find Maximum and Minimum value of \displaystyle f(x) = \frac{2\cos x+2}{\sin x+\cos x+2}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Maximum and Minimum
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Ιαν 2012, 02:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 320
Τοποθεσια: United States of America
Let f(x) = \frac{2\cos x + 2}{\sin x + \cos x + 2} , x \in [0,2\pi].Then f'(x)= \frac{(-2\sin x)(\sin x + \cos x + 2) - (2\cos x + 2)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x + 2)^2}.
So, f'(x)=0 \Leftrightarrow (-2\sin x)(\sin x + \cos x + 2) = (2\cos x + 2)(\cos x - \sin x)\Leftrightarrow -2(\sin x)^2 -4\sin x = 2(\cos x)^2 + 2\cos x -2\sin x\Leftrightarrow \sin x + \cos x = -1
\Leftrightarrow x = \pi or x = \frac{3\pi}{2}.
Also , f&#39;(x)>0 \Leftrightarrow (-2\sin x)(\sin x + \cos x + 2) > (2\cos x + 2)(\cos x - \sin x)\Leftrightarrow -2(\sin x)^2 -4\sin x > 2(\cos x)^2 + 2\cos x -2\sin x\Leftrightarrow \sin x + \cos x < -1\Leftrightarrow x \in (\pi,\frac{3\pi}{2}).
We have f(0)=f(2\pi).This leads to \min_{x \in [0,2\pi]}f(x)=f(\pi)= 0 and \max_{x \in [0,2\pi]}f(x)=f(\frac{3\pi}{2})=2.
Also, if x \in \mathbb{R} then f(x) = f(x+2\pi) \Rightarrow f(x)= f(x + 2k\pi) \forall k \in \mathbb{Z}.So if x \in \mathbb{R}\Rightarrow x = y + 2k\pi , y \in [0,2\pi] , k \in \mathbb{Z}.So, f(x)=f(y) \Rightarrow 0 \leq f(x) \leq 2.
This leads to \min_{x \in \mathbb{R}}f(x)=0 and \max_{x \in \mathbb{R}}f(x)=2.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Maximum and Minimum
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Ιαν 2012, 19:34 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
Thanks stranger


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Maximum and Minimum
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Ιαν 2012, 17:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
Let y=\frac{2\cos x+2}{\sin x+\cos x+2}

y\sin x+(y-2)\cos x = (2-2y)

Now Using Cauchy-Schwartz Inequality

\left\{y^2+(y-2)^2\right\}.\left\{\sin^2 x+\cos ^2 x\right\}\geq \left\{y\sin x+(y-2)\cos x\right\}^2

y^2+(y-2)^2\geq (2-2y)^2

2y^2-4y\leq 0

y.(y-2)\leq 0

So 0\leq y \leq 2

So \text{Min}(y) = 0 and \text{Max}(y) = 2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group