forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 14 Δεκ 2018, 11:31

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Trigonometric Multiplication
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Δεκ 2011, 18:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
Find value of \displyatyle \cos (\theta)\times\cos (2\theta)\times\cos (3\theta)................\times\cos (999\theta) =

If \theta = \frac{\pi}{1999}

(without using complex number)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Trigonometric Multiplication
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Δεκ 2011, 20:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
Without Using Complex no.

Let x=\prod _{r=1}^{999}\cos (r\theta)

and y=\prod _{r=1}^{999}\sin (r\theta)

x.y = \prod_{r=1}^{999}\sin (r\theta).\cos (r\theta)

2^{999}x.y = \prod_{r=1}^{999}2.\sin (r\theta).\cos (r\theta)=\prod_{r=1}^{999}\sin (2.r\theta)

Using \sin (1998 \theta) = \sin (\pi-\theta)=\sin (\theta)

similarly \sin (1996 \theta) = \sin (\pi-2\theta)=\sin (2\theta)
....................................

....................................

....................................

\sin (\theta) = \sin (\pi-999\theta)=\sin (999\theta)

So 2^{999}x.y = y

x=\frac{1}{2^{999}} and y\neq 0


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Trigonometric Multiplication
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Δεκ 2011, 20:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
Now my question is How can We solve \text{\underline{\underline {Using Complex no.}}}

Thanks.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Trigonometric Multiplication
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Ιαν 2012, 18:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
Μέ Μιγαδική Ανάλυση (complex Analysis)

\prod_{k=1}^{n}\cos \left ( \frac{k\pi }{m} \right )
με m=1999, n=999

Γνωρίζουμε :

\cos \left ( \frac{k\pi }{m} \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{\frac{ik\pi }{m}}+e^{\frac{-ik\pi }{m}} \right )

Έστω :
e^{\frac{ik\pi }{m}}=\omega

Τότε :

\prod_{k=1}^{n}=\frac{1}{2^{n}}(\omega ^{1}+\omega ^{-1})(\omega ^{2}+\omega ^{-2})...(\omega ^{n}+\omega ^{-n})

\prod_{k=1}^{n}=\frac{1}{2^{n}}\frac{1}{\omega ^{n(n+1)/2}}(1+\omega ^{2})(1+\omega ^{4})...(1+\omega ^{2n})....(1)

Άρα :
\prod_{k=1}^{n}=\frac{1}{2^{n}}\cdot1\cdot1=\frac{1}{2^{n}}...(2)
Για n=999 έχουμε αυτό που ζητάει η άσκηση.


Γιά το βήμα από (1) \rightarrow  (2)

e^{i\pi /2}=1\Rightarrow \frac{1}{\omega ^{n(n+1)/2}}=1

Γιά το γινόμενο.....Γνωρίζουμε ότι γιά n=2\lambda +1 :

P(x)=\frac{x^{n}+1}{x+1}=1-x+x^{2}-...-x^{n-2}+x^{n-1}...(3)

Τώρα :

P(x)=(x+\omega ^{2})(x+\omega ^{4})...(x+\omega ^{2n})
P(1)=(1+\omega ^{2})(1+\omega ^{4})...(1+\omega ^{2n})

Όμως από (3) :

P(1)=1+(-1+1-1+1-...-1+1)=1


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Trigonometric Multiplication
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Ιαν 2012, 21:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
Thanks Apokalyptikos for Nice Solution


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group