forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Δεκ 2018, 15:36

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Functional equation
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Δεκ 2011, 15:50 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
find all continuous function f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} which satisfying 3f(2x+1)=f(x)+5x


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Functional equation
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Δεκ 2011, 05:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 432
Set g(x)=f(x-1)-x+\frac{5}{2}, then 3g(2x)=3f(2x-1)-6x+\frac{15}{2}=f(x-1)+5(x-1)-6x+\frac{15}{2}=g(x). So, we have that g(x)=\frac{1}{3}g\left(\frac{x}{2}\right) for all x\in\mathbb R, so g(x)=\frac{1}{3}g\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{3^2}g\left(\frac{x}{2^2}\right)=\dots=\frac{1}{3^n}g\left(\frac{x}{2^n}\right) for all n\in\mathbb N. Thus, g(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^n}g\left(\frac{x}{2^n}\right)=0 for all x\in\mathbb R. So, f(x-1)-x+\frac{5}{2}=0\Rightarrow f(x)=x-\frac{3}{2} for all x\in\mathbb R.

Actually, I think we just need that f is bounded in a neighbourhood of -1, and the proof is the same.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Functional equation
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Δεκ 2011, 10:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
δουλεύει και το ασθενέστερο \exists \epsilon,\delta,C>0 : \forall x \in (0,\delta) \Rightarrow |g(x)| \leq C x^{-\frac{\log 3}{\log 2}+\epsilon} αντί του τοπικά φραγμένου.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Functional equation
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Δεκ 2011, 18:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
thanks detnvvp


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group