forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 14 Δεκ 2018, 16:11

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: limit
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Δεκ 2011, 18:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
If U_{n} be a Sequence such that U_{1} = 1 and U_{n+1} = U_{n}+\frac{U^2_{n}}{2011}\forall n\geq 1

and S_{n} =\frac{U_{1}}{U_{2}}+\frac{U_{2}}{U_{3}}+\frac{U_{3}}{U_{4}}+.....+\frac{U_{n}}{U_{n+1}}

then \Lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}=


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: limit
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Δεκ 2011, 01:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 22 Μαρ 2007, 22:17
Δημοσ.: 163
Τοποθεσια: Kallithea
Jacks , I am writing in English since it seems to be more familiar to you...

First step.

Let U'_{n+1} =  U'_n + \frac{U'_n}{2011} = U'_n \frac{2012}{2011} where U'_1 = 1 ~~~~ (1)

\frac{U_n}{U_{n+1}} = \frac{1}{1 +\frac{U_n}{2011}} \geq  \frac{1}{U'_n +\frac{U'_n}{2011}} =  \frac{1}{U'_n \frac{2012}{2011}}

\Rightarrow  S_n \geq \sum_{k=1}^{n} (\frac{2011}{2012})^{k}

\lim_{n \rightarrow \infty}S_n \geq \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{2011}{2012})^{k} =  \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{2011}{2012})^{k} - 1 = \frac{1}{1 - \frac{2011}{2012}} - 1 = 2012 - 1 = 2011

\lim_{n \rightarrow \infty}S_n \geq 2011 ~~~~(2)

Second step.

Let U''_{n+1} = U''_n \frac{2011}{2010} where U''_1 =\frac{2010}{2011}

\frac{U_n}{U_{n+1}} = \frac{1}{1 +\frac{U_n}{2011}} \cong \frac{1}{U''_n \frac{2011}{2010}}

i.e :

n = 1, ~~ 1+ \frac{U_1}{2011} = 1+ \frac{1}{2011} =\frac{2012}{2011} > 1= U''_1 \frac{2011}{2010}

n = 2, ~~ 1 + \frac{U_2}{2011} = 1 + \frac{2012}{2011^2} <  U&#39;&#39;_2\frac{2011}{2010} = \frac{2011}{2010} ~~,\Rightarrow \frac{2011}{2010} - (1 + \frac{2012}{2011^2})= \frac{1}{ 8128683210} \cong 0

n = 3, ~~ 1 + \frac{U_3}{2011} < U&#39;&#39;_3 \frac{2011}{2010}where U&#39;&#39;_3 \frac{2011}{2010} - (1 + \frac{U_3}{2011}) \cong 0 and the difference even quite smaller than before (close to 0 ).

e.t.c

Basically it seems that from n= 1 in the end is true that ...

S_n \leq \sum_{k=0}^{n} (\frac{2010}{2011})^{k}

\Rightarrow ~ \lim_{n \rightarrow \infty}S_n \leq \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{2010}{2011})^{k} = \frac{1}{1 - \frac{2010}{2011}} = 2011

\lim_{n \rightarrow \infty}S_n \leq 2011 ~~~~(3)

From (2) and (3) we have : \lim_{n \rightarrow \infty}S_n  = 2011


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: limit
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Δεκ 2011, 17:37 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 29 Αύγ 2009, 13:32
Δημοσ.: 104
Well, from our equation one can get limu_n=+\infty and \frac{u_n}{u_{n+1}}=2011(\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}}).
So S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{u_n}{u_{n+1}}=2011\sum_{n=1}^{N}(\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}})=2011(1-\frac{1}{u_{N+1}}) \rightarrow 2011.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: limit
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Δεκ 2011, 17:50 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
thank nikolaos and Ilias_Zadik

@Ilias_Zadik i did not understand the step \lim_{n\rightarrow \infty}u_{n}=+\infty


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: limit
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Δεκ 2011, 18:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 29 Αύγ 2009, 13:32
Δημοσ.: 104
Take a natural n. Then
2011(u_{n+1}-u_{n})=u_n ^2\geq 0 \rightarrow u_n is increasing
\rightarrow u_n \geq u_1=1 for every n \rightarrow u_{n+1}-{u_n}\geq  \frac{1}{2011}.
So
u_N-1 \geq \frac{N-1}{2011} (by summing over n=1,..,N) for every N.
For the desired result take limits to the last inequality.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: limit
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Δεκ 2011, 18:09 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 170
thanks Ilias_Zadik got it


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group