forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Δεκ 2018, 15:47

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Γενικευμένο ολοκλήρωμα-Διαφορικές Εξισώσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Δεκ 2011, 19:36 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 20 Απρ 2010, 22:03
Δημοσ.: 69
Λύστε το παρακάτω ολοκλήρωμα με την χρήση μόνο διαφορικών εξισώσεων \int_0^\infty e^{-x^2}sinx\,\mathrm{d}x


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα-Διαφορικές Εξισώσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Δεκ 2011, 19:44 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 20 Απρ 2010, 22:03
Δημοσ.: 69
Έθεσα F(k)=\int_0^\infty e^{-x^2}sinkx\,\mathrm{d}x και ύστερα ολοκλήρωσα, κατέληξα σε μία διαφορική εξίσωση χωριζομένων μεταβλητών, την έλησα και το πρόβλημα που αντιμετώπησα ήταν στο F(0). Προσπάθησα και θέτωντας F(k)=\int_0^\infty e^{-x^2}sin(kx+\frac{\pi}{2})\,\mathrm{d}x αλλά κατέληξα στο να μην ξέρω τι να θέσω για k στο F(k).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Γενικευμένο ολοκλήρωμα-Διαφορικές Εξισώσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Δεκ 2011, 13:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
Κοίταξε λίγο στην βιβλιογραφία σου για συσχετισμό «Fourier transform» και «Gaussian»...τα βήματα είναι περίπου ως εξής:


Σχηματίζεις τήν F(t) ίση με το δοθέν ολοκλήρωμα ( με sin (tx) )

Υπολογίζεις την παράγωγο τής F(t) ολοκληρώνοντας τήν παράγωγο τής σχέσης που είναι μέσα στο δοθέν ολοκλήρωμα (θέλει λίγο θεωρία για να δείξεις ότι επιτρέπεται)

Άν το βλέπω σωστά είναι «παράγωγος τής F(t) = -2 t F(t) » που είναι απλή διαφορική....ως αρχική συνθήκη παίρνεις ανάλογα στο πι/2

Θα χρειαστείς ακόμη το ολοκλήρωμα τού εκθετικού μέρους τής δοθείσης συνάρτησης, που είναι άν θυμάμαι καλά το μισό τής ρίζας τού πι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα-Διαφορικές Εξισώσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Δεκ 2011, 16:12 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 20 Απρ 2010, 22:03
Δημοσ.: 69
Αυτό κάνω:
F(k)=\int_0^\infty e^{-x^2}sinkx\,\mathrm{d}x
dF/dk=\int_0^\infty xe^{-x^2}coskx\,\mathrm{d}x=-1/2\int_0^\infty -2xe^{-x^2}coskx\,\mathrm{d}x=-1/2\int_0^\infty (e^{-x^2})'coskx\,\mathrm{d}x=[(-1/2)e^{-x^2}coskx]_0^\infty-k/2\int_0^\infty e^{-x^2}sinkx\,\mathrm{d}x=(-k/2)F(k)
Άρα:
dF/dk=(-k/2)F(k)
λύνοντας την διαφορική έχουμε:
F(k)=ce^{(-k^2)/4}
Και τώρα για να βρώ το c θέτω k=0 και εκεί κολάω.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Γενικευμένο ολοκλήρωμα-Διαφορικές Εξισώσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Δεκ 2011, 19:06 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
Ναί, ευτυχώς που τα έγραψες...το βλέπω τώρα...Το πρόβλημα είναι το sinus στο ολοκλήρωμα...και απο ότι γνωρίζω δεν υπάρχει κλειστός τύπος.

Γιά cosinus θα λυνόταν άμεσα..(ακόμη και μετατόπιση κατά πι/2 θα μπέρδευε τα πράγματα διότι δεν λύνεται μετά ο «μετατοπισμένος» Gaussian

Θα σε απογοητέυσω...πρέπει να ανοίξω βιβλίο...και αδυνατώ τώρα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα-Διαφορικές Εξισώσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Δεκ 2011, 19:40 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 20 Απρ 2010, 22:03
Δημοσ.: 69
Λοιπόν έκανα ένα μικρό λαθάκι στο [(-1/2)e^{-x^2}coskx]_0^\infty νόμιζα οτι είναι 0 επειδή με μπέρδεψε το e^{-x^2}, τελικά είναι 1/2 και η διαφορική εξίσωση γίνετε τελικά dF/dk=(1/2)-k/2F λύνω την διαφορική και καταλίγο στο εξής: F(k)=e^{k^2/4}\int_0^k (1/2)e^{(-t^2)/4}\,\mathrm{d}t και δεν ξέρω πως να βρώ το F(1)? πρέπει να βρώ μάλλον το \int_0^1 (1/2)e^{(-t^2)/4}\,\mathrm{d}t αλλά δεν ξέρω πόσο κάνει αυτό αλλά και πώς θα βρώ πόσο κάνει?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Γενικευμένο ολοκλήρωμα-Διαφορικές Εξισώσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Δεκ 2011, 21:30 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
Φίλε talisman…το ξανασκέφτηκα.... φοβάμαι όμως αυτό που θέλεις δεν λύνεται...έχεις ξανακοιτάξει την εκφώνηση ; είσαι σίγουρος ότι έχει ημίτονο και όχι συνημίτονο ; Δέν θέλω να προλαμβάνω, σού είπα άλλωστε θά ανοίξω βιβλίο μόλις μπορέσω....αλλά κάπου επιμένω ...ολοκλήρωμα Gaussian με ημίτονο δέν έχει κλειστή λύση...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα-Διαφορικές Εξισώσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Δεκ 2011, 00:00 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 20 Απρ 2010, 22:03
Δημοσ.: 69
Τελικά η συνάρτηση που έφτασα είναι F(k)=e^{(-k^2)/4}\int_0^k (1/2)e^{t^2/4}\,\mathrm{d}t αυτό είναι 100% σίγουρο. Τώρα πρέπει να βρώ το F(1) και κυρίως το \int_0^1 e^{t^2/4}\,\mathrm{d}t και δεν ξέρω πως? Αλλά ξέρω πως πρέπει να χρησιμοποιήσω το \int_0^x e^{kt^2/b}\,\mathrm{d}t, k \in \mathbb{Z} , b \in \mathbb{N} , x \in \mathbb{R} ή αν είναι δυνατών κάτι όχι τόσο περίπλοκο όσο η συνάρτηση σφάλματος ή το ολοκλήρωμα Dawson.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Γενικευμένο ολοκλήρωμα-Διαφορικές Εξισώσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Δεκ 2011, 21:13 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
Τελικά δεν μάς είπες τί έγινε εδώ...Έκανα και εγώ τίς πράξεις γιά :

H=\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\sin 2kx dx

όπου με ολοκλήρωση κατά παράγοντες εξάγεται η διαφορική:

\frac{dH}{dk}+2kH=1

Πολλαπλασιάζουμε τώρα τα δύο μέλη με e^{k^{2}} οπότε αριστερά έχουμε την παράγωγο ως πρός k τού γινομένου : e^{k^{2}}H

Ολοκληρώνοντας και τις δύο πλευρές απο 0 μέχρι k παίρνουμε :

e^{k^{2}}H=\int_{0}^{k}e^{t^{2}}dt (καθώς H=0 γιά k=0 ). Άρα :

H=e^{-k^{2}}\int_{0}^{k}e^{t^{2}}dt

Και αυτό είναι το τελευταίο βήμα, διότι το τελευταίο ολοκλήρωμα δεν έχει κλειστή λύση.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group