forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 22 Σεπ 2018, 09:15

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Διαφορική εξίσωση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2018, 16:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 432
Έστω f μία απόλυτα συνεχής συνάρτηση στο (0,\infty) με tf'(t)=f(t) για κάθε t>0. Δείξτε ότι f(t)=ct.

Edit: ας υποθέσουμε ότι η f είναι απόλυτα συνεχής σε κάθε ανοικτό, γνήσιο υποδιάστημα του (0,\infty), και όχι σε όλο το (0,\infty).

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Τελευταία επεξεργασία απο detnvvp την 23 Μαρ 2018, 11:22, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διαφορική εξίσωση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Μαρ 2018, 04:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 315
Τοποθεσια: United States of America
Απο οτι βλεπω γραφεις f'(t) για την παραγωγο της f, οποτε θεωρεις οτι η f ειναι παραγωγισιμη στο (0,infty).
Βασει αυτου μπορουμε να γραψουμε την εξισωση tf'(t)=f(t) ως εξης: f'(t)t-(t)'f(t)=0 η οποια ειναι ισοδυναμη με την [f'(t)t-(t)'f(t)]/t^2=0 που ειναι η ιδια εξισωση με την (f(t)/t)'=0 απο τον κανονα του πηλικου. Απο αυτη την εξισωση επεται η f(t)/t ειναι σταθερη.Αρα f(t)=ct.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διαφορική εξίσωση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Μαρ 2018, 11:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 432
Ίσως θα έπρεπε να το αναφέρω αυτό στην εκφώνηση: από τον ορισμό της απόλυτης συνέχειας, έχουμε ότι η f' υπάρχει σχεδόν παντού, ανήκει στον L^1, και ισχύει το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού σε κάθε υποδιάστημα του (0,\infty).

Άλλαξα λίγο την εκφώνηση.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διαφορική εξίσωση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Μαρ 2018, 05:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 315
Τοποθεσια: United States of America
Εστω x<y στο (0,οο).Τοτε η f ειναι απολυτα συνεχης στο [x,y].Επισης η συναρτηση t->1/t ειναι απολυτα συνεχης στο [x,y] αφου ειναι συνεχως διαφορισιμη. Αρα και το γινομενο της f με την 1/t ειναι απολυτα συνεχης συναρτηση στο [x,y].Αρα στο [x,y] ισχυει το θεμελιωδες θεωρημα του απειροστικου λογισμου για την συναρτηση f(t)/t το οποιο σημαινει οτι int_x^y (f(t)/t)' dt = f(y)/y - f(x)/x.
Ομως (f(t)/t)'=0 σχεδον παντου επειδη tf'(t)=f(t) σχεδον παντου.Αρα f(y)/y=f(x)/x.
Απο αυτο συμπεραινουμε οτι f(t)=ct.
Στα παραπανω χρησιμοποιησα οτι η f ειναι απολυτα συνεχης σε ενα συμπαγες διαστημα.Αυτο βγαινει απο το γεγονος οτι καθε συμπαγες διαστημα περιεχεται σε ενα ανοιχτο διαστημα και σε αυτο η f ειναι απολυτα συνεχης απο υποθεση.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διαφορική εξίσωση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Μαρ 2018, 12:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 432
Σωστά, πολύ ωραία.

Η ουσία είναι στο ότι χρειάζεται αυτό το επιπλέον επιχείρημα με το γινόμενο των απόλυτα συνεχών συναρτήσεων.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group