forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Δεκ 2017, 08:03

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Γραμμικότητα απεικόνισης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Δεκ 2017, 13:14 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 22 Ιουν 2016, 22:20
Δημοσ.: 25
Χάζευα το βιβλίο διαφορικής γεωμετρίας του Taubes και έπεσε στο μάτι μου κάτι που μου φάνηκε αρκετά ενδιαφέρον και δεν το είχα ξαναδεί.

1)Έστω C^1 απεικόνιση από τον R^n στον R^n. Τότε ,αν f(λx)=λf(x) για όλα τα λ στον R , η f είναι γραμμική!

Η άσκηση, αν και θέλει λίγη προσοχή, είναι εύκολη. Μου φαίνεται όμως ενδιαφέρον ότι τελικά η 1-ομογένεια (στις παραγογίσιμες συναρτήσεις) είναι όχι μονο αναγκαία αλλά τελικά και ικανή συνθήκη για γραμμικότητα.

2) Τι συμβαίνει άμα η συνάρτηση μου είναι ομογενής αλλά δεν ξέρω τίποτα για συνέχεια ή παραγώγιση ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γραμμικότητα απεικόνισης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Δεκ 2017, 17:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 424
Αρκεί η παραγωγισιμότητα στο 0 και η ομογένεια για να έχουμε γραμμικότητα.

Έστω ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε υπάρχει πίνακας Α τέτοιος ώστε |f(x)-f(0)-Ax|/|x|\to 0 όταν το |x| παει στο 0. Όμως, για λ=2 και x=0, έχουμε ότι f(0)=2f(0), άρα f(0)=0, επομένως |f(x)-Ax|/|x|\to 0 όταν το |x| παει στο 0.
Έστω τώρα x με |x|<1. Τότε, για κάθε k\in\mathbb N,

|f(x)-Ax|=|x|^{-k}|f(|x|^k x)-A(|x|^k x)|\to 0,

όταν το k\to\infty. Άρα f(x)=Ax για |x|<1, και η ομογένεια συνεπάγεται ότι f(x)=Ax για κάθε x.

Τώρα, αν η g(x') είναι μία οποιαδήποτε συνάρτηση στη μοναδιαία σφαίρα η οποία είναι περιττή, δηλαδή g(x')=-g(-x') για κάθε x' στη μοναδιαία σφαίρα, τότε η συνάρτηση f(x)=|x|g(x/|x|) είναι ομογενής στο R^n. Επιλεγοντας την g κατάλληλα, μπορούμε να κατασκευάσουμε μία ομογενή f η οποία δεν ικανοποιεί την f(x+y)=f(x)+f(y).

Για παράδειγμα, η (0,y^3/(x^2+y^2)) είναι συνεχής, ομογενής, αλλά μη γραμμική.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γραμμικότητα απεικόνισης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Δεκ 2017, 19:51 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 22 Ιουν 2016, 22:20
Δημοσ.: 25
Ωραία απόδειξη ! Εγώ σκέφτηκα το κάπως πιο προφανές , παραγωγίζω την σχέση της ομογένειας ως προς t , πράγμα που βέβαια προϋποθέτει παντού παραγώγιση .

Όσο για το παράδειγμα νομίζω έκλεψες λιγο :P . Καθώς η συνάρτηση σου δεν ορίζεται σε όλο τον R^2 δεν έχει πολύ νόημα να πούμε άμα ειναι γραμμική η όχι. Στο math overflow έχω βρει ενα παράδειγμα συνάρτησης που ορίζοντα παντού αλλά και είναι συνεχείς , ομογενείς αλλά όχι γραμμικές.

Άμα σκεφτώ κάποια δικιά μου θα την γράψω.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γραμμικότητα απεικόνισης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Δεκ 2017, 20:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 424
Aν ορίσεις f(x,y)=(0,y^3/(x^2+y^2)) και f(0,0)=(0,0), τότε η f ορίζεται παντού, είναι συνεχής και ομογενής, αλλά μη γραμμική.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γραμμικότητα απεικόνισης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Δεκ 2017, 21:21 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 22 Ιουν 2016, 22:20
Δημοσ.: 25
Φυσικά, έχεις δίκιο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group