forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 12 Δεκ 2017, 20:11

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση για κυρτές συναρτήσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Οκτ 2017, 16:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2914
Μια άσκηση για κυρτές συναρτήσεις. Εξετάστε αν ισχύει το εξής: αν f:{\mathbb R}^n\to {\mathbb R} είναι κυρτή συνάρτηση και για κάποιον a\in {\mathbb R} το σύνολο των x\in {\mathbb R}^n για τα οποία η τιμή f(x) είναι ίση με a έχει θετικο μέτρο Lebesgue, τότε το f(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο του a για κάθε x\in {\mathbb R}^n.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση για κυρτές συναρτήσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Οκτ 2017, 15:55 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 33
Θα μας δώσετε μια υπόδειξη κύριε Γιαννόπουλε ;


Τελευταία επεξεργασία απο BAGGP93 την 14 Οκτ 2017, 14:02, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση για κυρτές συναρτήσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Οκτ 2017, 20:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2914
Καλησπέρα, βλέπω ότι υπάρχει κάποιο πρόβλημα με την latex στο forum. Δεν μπορούσα να δω αυτό που έγραψα και αναγκάστηκα να το γράψω περιγραφικά. Τώρα, δεν βλέπω τι έχεις γράψει. Μια υπόδειξη είναι, υποθέτοντας ότι δεν ισχύει το ζητούμενο, να δείτε το σύνολο όπου η f παίρνει την τιμή a σαν σύνορο κατάλληλου κυρτού συνόλου.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση για κυρτές συναρτήσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Οκτ 2017, 17:35 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 22 Ιουν 2016, 22:20
Δημοσ.: 25
Θεωρώντας την f C^{1} φαντάζομαι την εξής (κάπως εποπτική) λύση:

Το γράφημα της f είναι μια C^{1} , n πολλαπλότητα . Τα σύνολα f^{-1}(c) είναι τα σύνολα που περιγράφονται ως τομή του γραφήματος με ένα R^{n-1} υπερεπίπεδο.

Τώρα αν η τομή είναι "εγκάρσια" ( ο αγγλικός όρος ειναι transversal ) τα f^{-1}(c) είναι R^{n-1} πολλαπλότητες και συνεπώς δεν μπορούν να έχουν θετικό μετρο Lebesgue . Άρα στο εν λόγω σημείο η τομή δεν θα ειναι εγκάρσια, άρα το επίπεδο θα εφάπτεται στο γράφημα της f και αφού το γράφημα κυρτής συνάρτησης είναι κυρτό σύνολο έπεται πως όλη η f βρίσκεται "από πάνω" του.

Ελπίζω στην προσπάθεια μου να εξηγήσω διαισθητικά την σκέψη μου να μην χρησιμοποίησα τελείως λάθος τα εργαλεία των πολλαπλοτήτων.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση για κυρτές συναρτήσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Νοέμ 2017, 13:34 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 03 Ιουν 2009, 22:40
Δημοσ.: 607
1) Μια κυρτή συνάρτηση είναι σχεδόν παντού διαφορίσιμη.
Εάν είναι διαφορίσιμη στο ΠΟ, τότε είναι και C1.
2) Μια κυρτή συνάρτηση είναι σχεδόν παντού 2-φορές διαφορίσιμη.
Εάν είναι 2-φορές διαφορίσιμη στο ΠΟ, τότε δεν έπεται πάντοτε ότι είναι C2.
(ΠΟ ανοικτό πεδίο ορισμού)

Το σύνολο των ΜΗ C1 κυρτών συναρτήσεων είναι 1ης κατηγορίες (με την έννοια του Baire) στο σύνολο των κυρτών συναρτήσεων, δηλ. είναι "μικρό" σύνολο.
Το σύνολο των ΜΗ C2 κυρτών συναρτήσεων είναι 2ης κατηγορίας στο σύνολο των κυρτών συναρτήσεων, δηλ. είναι "μεγάλο" σύνολο.

Οι κυρτές συναρτήσεις είναι απλή περίπτωση "συνεχών πολλαπλοτήτων" υποθέτω ότι υπάρχει αναλυτική λύση, μόνον με τις ιδιότητες μιας κυρτής συνάρτησης.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group