forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Νοέμ 2017, 22:33

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 106 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θεωρια Αριθμων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Οκτ 2006, 01:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 303
Ενα topic αφιερωμενο σε εναν απο τους πιο δυσκολους και ταυτοχρονα ομορφους κλαδους των μαθηματικων..Με λιγα λογια τη βασιλισσα των μαθηματικων θεωρια αριθμων..
Βαλτε ασκησεις προς το κοινο και συζητηστε για θεματα της θεωριας αριθμων!!!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ευκολακι!
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Οκτ 2006, 01:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 303
Εστω a,b \in \mathbb{N^*}
Αν g(n) =(a-b)(\sum_{k=1}^{n}b^{k-1}a^{n-k})
Αν f(n)= \sqrt[n]{g(n)} τοτε να δειξετε οτι: \forall n \in \mathbb{N^*} -[1,2]ισχυει f(n) \notin \mathbb{N^*}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Οκτ 2006, 21:36 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 07 Οκτ 2006, 16:42
Δημοσ.: 19
Είναι g(n)=a^n-b^n ,άρα ισχύει ότι f(n)^n+b^n=a^n και σύμφωνα με το τελευταίο θεώρημα του Fermat θα ισχύει ότι f(n) \notin \mathbb{N^*}.

P.S. stranger, εσύ την έφτιαξες την άσκηση; :roll:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Οκτ 2006, 00:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 303
Ναι..Ευκολη δεν ηταν;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Οκτ 2006, 14:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 381
Όντως αν και πάω στοίχημα ότι το 70% των συναδέλφων μου δε θα μπορούσε να τη βγάλει...
Μερικές περίεργες ασκησούλες έχει εδώ:
http://www.math.cl/induction.pdf


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Οκτ 2006, 16:09 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 19 Μαρ 2006, 13:08
Δημοσ.: 485
Κάτι που δεν μπόρεσα να λύσω(αλλά από την άλλη δεν είμαι και πολύ καλός) :)

Έστω P(n) το γινόμενο των θετικών ακεραίων, που είναι \leq n
και πρώτοι ως προς τον n. Nα αποδειχθεί ότι:

P(n)=n^{ \phi (n)} \prod_{d|n} \Big(\frac{d!}{d^{d}} \Big)^{\mu (n|d)}

_________________
Είμαι ο groovemaster. To υπογράφω.

founder of the \heartsuit tex command.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Οκτ 2006, 16:18 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2906
Ο καλύτερος είσαι. Είναι μια πολύ ωραία άσκηση που θα σε βοηθήσει να δείς διάφορα πράγματα για τις πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις.

Συγκεκριμένα, είναι η Άσκηση 20 στο δεύτερο Κεφάλαιο του Apostol. Μια ιδέα είναι να μετασχηματίσεις πρώτα την ταυτότητα που ζητάς, χρησιμοποιώντας την Άσκηση 13 (πολλαπλασιαστική μορφή του τύπου αντιστροφής του Mobius):

Πολλαπλασιασμός Dirichlet: Αν f και g είναι δύο αριθμητικές συναρτήσεις, το γινόμενο Dirichlet των f και g είναι η συνάρτηση

(f\ast g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(n/d).

Αν f είναι μια αριθμητική συνάρτηση με f(1)\neq 0, τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση f^{-1} με την ιδιότητα

f\ast f^{-1}=f^{-1}\ast f=I,

όπου I(n)=1 αν n=1 και I(n)=0 αν n>1. Η f^{-1} είναι η αντίστροφη της f.

Για την συνάρτηση του Mobius ισχύει

\mu^{-1}=u

όπου u η σταθερή συνάρτηση u\equiv 1. Αυτό προκύπτει από την

\sum_{d|n}\mu (d)=I(n)

(Apostol, Θεώρημα 2.1).

Ο τύπος αντιστροφής του Mobius (Apostol, Θεώρημα 2.9) λέει ότι αν f και g είναι δύο αριθμητικές συναρτήσεις, τότε

f(n)=\sum_{d|n}g(d) αν και μόνο αν g(n)=\sum_{d|n}f(d)\mu (n/d).

Η πολλαπλασιαστική μορφή μας λέει ότι αν F και G είναι δύο αριθμητικές συναρτήσεις με θετικές τιμές και αν \alpha είναι μια αριθμητική συνάρτηση με \alpha (1)\neq 0, τότε

F(n)=\prod_{d|n}G(d)^{\alpha (n/d)} αν και μόνο αν G(n)=\prod_{d|n}F(d)^{\alpha^{-1} (n/d)}.

(Apostol, Άσκηση 2.13).

Θέλεις να δείξεις ότι

\frac{P(n)}{n^{\phi (n)}}=\prod_{d|n}\left
(\frac{d!}{d^d}\right )^{\mu (n/d)}.

Αν θέσουμε F(n)=P(n)/n^{\phi (n)} και G(n)=n!/n^n, σύμφωνα με τα παραπάνω αρκεί να δείξεις ότι

\frac{n!}{n^n}=\prod_{d|n}\frac{P(d)}{d^{\phi
(d)}}.\leqno (1)

Τώρα, ίσως φανεί χρήσιμο το Θεώρημα 2.2:

\sum_{d|n}\phi (d)=n

Έχουμε n^n=\prod_{d|n}n^{\phi (d)}, οπότε μπορείς να γράψεις την (1) στην ισοδύναμη μορφή

n!=\prod_{d|n}P(d)\left (\frac{n}{d}\right )^{\phi
(d)}.\leqno (2)

ή, αν θέλεις, στην ισοδύναμη μορφή

n!=\prod_{d|n}P(n/d)d^{\phi (d)}.\leqno (3)

Για την απόδειξη της (3) ίσως χρειαστεί να δεις προσεκτικά την απόδειξη του Θεωρήματος 2.2.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Οκτ 2006, 15:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 19 Μαρ 2006, 13:08
Δημοσ.: 485
Απόστολος Γιαννόπουλος έγραψε:
...


Ευχαριστώ πολύ! Πραγματικά, πολύ τροφή για σκέψη! Θα την ξαναπιάσω..

_________________
Είμαι ο groovemaster. To υπογράφω.

founder of the \heartsuit tex command.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Οκτ 2006, 02:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 303
Η θεωρια αριθμων διδαδκεται στο πανεπιστημιο;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Οκτ 2006, 11:26 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιούλ 2006, 21:08
Δημοσ.: 2095
Τοποθεσια: Βριλησσια
ναι ειναι μαθημα του 2ου εξαμηνου. :)

_________________
Τι εννοείτε ακριβώς?
Those who can, do. Those who can't, teach...
Εικόνα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Οκτ 2006, 19:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 303
Ποια ειναι η γνωμη σας πανω στην εικασια του goldbach;

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Οκτ 2006, 20:59 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Όταν λες γνώμη; Αν πιστεύουμε στην ισχύ της;

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Οκτ 2006, 21:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Απρ 2006, 10:23
Δημοσ.: 357
H εικασία του Goldbach αν δεν κάνω λάθος

έχει αποδειχθεί (η ορθότητά της) από έναν

τεράστιο αριθμό και μετά. Έτσι το ενδιαφέρον

μετατοπίζεται στο να επαληθεύσουμε την συνθήκη

για ένα πεπερασμένο πλήθος αριθμών.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Οκτ 2006, 00:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 303
Νομιζω οτι δεν εχει αποδειχτει.Αυτο που εχει αποδειχτει απο τους Hardy - Littlewood ειναι οτι αν ισχυει η υποθεση του riemann καθε περιττος που ειναι μεγαλυτερος απο εναν σταθερο αλλα τεραστιο αριθμο μπορει να εκφραστει ως αθροισμα τριων πρωτων..
Πιστευετε οτι εμπιπτει στη μη πληροτητα των μαθηματικων;

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Οκτ 2006, 01:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιούλ 2006, 21:08
Δημοσ.: 2095
Τοποθεσια: Βριλησσια
εχουμε και λεμε...
απ'οτι λεει ενα βιβλιο που εχει τιτλο "η μουσικη των πρωτων αριθμων", το οποιο διαβαζω αυτην την περιοδο, η εικασια του Γκολντμπαχ εχει επαληθευτει για ολους τους αριθμους μεχρι το 400.000.000.000.000
προσωπικα πιστευω οτι η μη-πληρωτητα των μαθηματικων ειναι παρεξηγημενη....νομιζω οτι ολα μπορουμε να τα εκφρασουμε με μαθηματικα και να τα αποδειξουμε την ισχυ ή μη-ισχυ τους ...να θυμησω οτι καποιοι πιστευαν το ιδιο που λες και για το τελευταιο θεωρημα του Fermat αλλα ο Wiles ειχε αλλη αποψη :) ...

_________________
Τι εννοείτε ακριβώς?
Those who can, do. Those who can't, teach...
Εικόνα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 106 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group