forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Ιουν 2018, 02:54

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 19 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 06:08 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 21 Απρ 2010, 19:34
Δημοσ.: 8
Αποδειξτε οτι αν H_1, H_2 ειναι υποομαδες μιας ομαδας G με διαστασεις h_1, h_2 αντιστοιχα, και h_1, h_2 ειναι πρωτοι αριθμοι, τοτε

H_1\cap H_2=\{E\}

οπου E το ταυτοτικο στοιχειο της G.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 12:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Οκτ 2008, 20:37
Δημοσ.: 143
Εστω ενα στοιχειο h\in {H}_{1}\cap {H}_{2}. Τοτε h\in {H}_{1} και h\in {H}_{2}. Ειναι γνωστο ομως οτι η ταξη του στοιχειου διαιρει την ταξη της ομαδας (αποδεικνυεται με το Θ. Lagrange), αρα εχουμε πως ord(h)|ord({H}_{1})={h}_{1} και ord(h)|ord({H}_{2})={h}_{2}. Συνεπως ord(h)|gcd({h}_{1},{h}_{2})=1, αρα ord(h)=1, δηλαδη h=E


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 12:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3629
Τοποθεσια: Αθήνα
Προς papanio:
Στη διατύπωση της άσκησης δεν λέει ότι τα h_1 και h_2 είναι διαφορετικοί πρώτοι, λέει μόνο ότι είναι πρώτοι αριθμοί. Τι λες για αυτό το ενδεχόμενο;

Επίσης ο όρος διάσταση ομάδας, προκειμένου να μιλήσουμε για το πλήθος των στοιχείων της δεν συνηθίζεται. Κυρίως μιλάμε για τάξη ομάδας

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 13:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Οκτ 2008, 20:37
Δημοσ.: 143
Αν ειναι {h}_{1}={h}_{2} τοτε οπως πριν εχουμε πως ord(h)|{h}_{1} και ord(h)|{h}_{2}={h}_{1}. Αρα ειτε ord(h)=1 και συνεχιζουμε οπως πριν, ειτε ord(h)={h}_{1}. Τοτε εχουμε πως h\in {H}_{1} και ord(h)=ord({H}_{1}) αρα {H}_{1}=<h> και ομοια {H}_{2}=<h> δηλαδη {H}_{1}={H}_{2}. Αρα {H}_{1}\cap {H}_{2}={H}_{1}={H}_{2}. Εχω κανει καπου λαθος;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 13:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Ιούλ 2009, 02:45
Δημοσ.: 1001
εστω g\in H_1\cap H_2\Rightarrowg\in H_1 και g\in H_2
εφοσον g\in H_1\Rightarrow r(g)/|H_1|\Rightarrow r(g)/h_1
επειδη h_1 πρωτος τοτε r(g)=1 η' r(g)=h_1

συνεχησε ετσι και για το H_2 μετα παρε περιπτωσεις και θα καταληξεις οτι
r(g)=1\Rightarrow g=e και θα εχεις το επιθυμητο.

(εφοσον ειναι πρωτης ταξης μπορεις να βγαλεις οτι ειναι κυκλικες,αλλα δεν νομιζω οτι θα σου χρησιμευσει)


Τελευταία επεξεργασία απο alexiSotinanai την 13 Ιουν 2010, 14:21, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 14:09 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 21 Απρ 2010, 19:34
Δημοσ.: 8
Ευχαριστω πολυ για τη βοηθεια!

alexiSotinanai, ομως τι γινεται στην περιπτωση που h_1=h_2 ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 14:28 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 21 Απρ 2010, 19:34
Δημοσ.: 8
papanio έγραψε:
Αν ειναι {h}_{1}={h}_{2} τοτε οπως πριν εχουμε πως ord(h)|{h}_{1} και ord(h)|{h}_{2}={h}_{1}. Αρα ειτε ord(h)=1 και συνεχιζουμε οπως πριν, ειτε ord(h)={h}_{1}. Τοτε εχουμε πως h\in {H}_{1} και ord(h)=ord({H}_{1}) αρα {H}_{1}=<h> και ομοια {H}_{2}=<h> δηλαδη {H}_{1}={H}_{2}. Αρα {H}_{1}\cap {H}_{2}={H}_{1}={H}_{2}. Εχω κανει καπου λαθος;


Νομιζω οτι ειναι λαθος αυτο που λες γιατι παρε για παραδειγμα τις υποομαδες H_1=\{(1),(13)\} και H_2=\{(1),(23)\} της S_3 των μεταθεσεων. Ειναι h_1=h_2=2 αλλα H_1 \neq H_2 και H_1 \cap H_2 = \{(1)\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 14:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Ιούλ 2009, 02:45
Δημοσ.: 1001
το ξαναγραφω
εστω g\in H_1\cap H_2\Rightarrowg\in H_1 και g\in H_2
εφοσον g\in H_1\Rightarrow r(g)/|H_1|\Rightarrow r(g)/h_1
επειδη h_1 πρωτος τοτε r(g)=1 η' r(g)=h_1
εφοσον g\in H_2\Rightarrow r(g)/|H_2|\Rightarrow r(g)/h_2
επειδη h_2 πρωτος τοτε r(g)=1 η' r(g)=h_2

αρα η' r(g)=1 η' r(g)/(h_1,h_2)=1(εφοσον ειναι πρωτοι) αρα σε καθε περιπτωση
r(g)=1 \Rightarrowg=e

τωρα αν ειναι ιδιοι πρωτοι βγαζεις η' r(g)=1 η' r(g)=h_2
αν r(g)=1 τοτε εχεις το επιθυμητο ενω
αν r(g)=h_2 τοτε θα σε γελασω :(
εχω την εντυπωση οτι για να ισχυει αυτο πρεπει οι ταξεις των H_1,H_2 να ναι σχετικα πρωτες μεταξυ τους .


Τελευταία επεξεργασία απο alexiSotinanai την 13 Ιουν 2010, 20:45, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 20:39 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 21 Απρ 2010, 19:34
Δημοσ.: 8
Βασικα για h_1=h_2 οι υποομαδες H_1 και H_2 ειναι κυκλικες και αρα ισομορφικες. Επομενως η τομη τους ειναι {E} ?

:|


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 20:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Ιούλ 2009, 02:45
Δημοσ.: 1001
οι H_1,H_2 ειναι κυκλικες και διχως h_1=h1,
αν h_1=h_2 τοτε ειναι και οι δυο ισομορφες με την (\mathbb{Z}_h_1,+) αρα και μεταξυ τους.
μου φαινεται λογικο αυτο που εγραψε ο papanio οτι {H}_{1}\cap {H}_{2}={H}_{1}={H}_{2}
θα σε γελασω...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 22:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Οκτ 2008, 20:37
Δημοσ.: 143
Στην ασκηση πρεπει να υποθεσουμε (αν δεν το λεει η εκφωνηση) οτι {H}_{1}\neq {H}_{2} γιατι αλλιως δεν ισχυει αυτο που μας ζηταει. Αρα η περιπτωση ord(h)={h}_{1} απλα μας οδηγει σε ατοπο! Οποτε τελικα αναγκαστικα ord(h)=1...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2010, 23:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Ιούλ 2009, 02:45
Δημοσ.: 1001
λεει οτι αν Η1,Η2 υποομαδες της G,με ταξεις h1,h2 αντιστοιχα οπου οι h1,h2 πρωτοι δειξτε οτι H_1\cap H_2=\{E\}
οποτε πρεπει να συμπεριλαβεις και το ενδεχομενο να ναι ισοι,εκτος αν λεει αν ισχυει το συμπερασμα αν h1=h2 και τσαμπα εχω σκασει τοση ωρα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιουν 2010, 20:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Ιούλ 2009, 02:45
Δημοσ.: 1001
να κανω μια ερωτηση σχετικα με ενα θεμα που επεσε τη προηγουμενη βδομαδα,το 1ο απο το θεμα 2,
ελεγε εστω G\rightarrow H ομομορφισμος και G κυκλικη,δειξτε αν H_0=Imf τοτε η H_0 ειναι κυκλικη.
προσπαθησα να δειξω οτι παραγετε απο καποιο στοιχειο ωστε H_0=<f(g)> αλλα αυτο ισχυει μονο αν ειναι ισομορφες η G και η H_0, προσπαθησα με θεωρημα ισομορφισμου ομαδων αλλα δεν εβγαλα κατι....μηπως το εχει κανει καποιος?


Τελευταία επεξεργασία απο alexiSotinanai την 15 Ιουν 2010, 00:56, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιουν 2010, 21:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3629
Τοποθεσια: Αθήνα
Σύμφωνα με το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών στις ομάδες, έχουμε ότι: Αν f: A\longrightarrow B είναι ένας ομομορφισμός ομάδων, τότε ο πυρήνας Kerf είναι κανονική υποομάδα της Α και επιπλέον
A/Kef \cong Im f Επίσης βάλε στο λογαριασμό ότι πηλίκο μίας κυκλικής ομάδας είναι κυκλική επίσης
Γράψε μία λεπτομερή απόδειξη να την δούν όλοι

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρια Ομαδων (θεωρημα Lagrange - ασκηση)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιουν 2010, 21:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Ιούλ 2009, 02:45
Δημοσ.: 1001
πο ξενερωσα, το εκανα στη 2η του ιδιου θεματος αλλα σε αυτο δεν μου εκοψε να δειξω οτι ο G/Kerf ειναι κυκλικη :patpat:

G\rightarrow Hομομορφισμος και Gκυκλικη,δειξτε αν H_0=Imfτοτε η H_0 ειναι κυκλικη.

εστω οτι G=<g>
πρωτον, εχουμε οτι ο Ker f ειναι κανονικη υποομαδα της G, αρα οριζετε η ομοδα πηλικο G/Ker f.
δευτερον εχουμε οτι η G/Ker f ειναι κυκλικη, για αυτο αρκει να δειξουμε οτι G/Ker f= <gKer f>
δηλαδη οτι για καθε a\in G υπαρχει m\in \mathbb{Z} ωστε aKerf=(gKerf)^m
εστω a=g^m\Rightarrow aKerf=g^mKerf οποτε
g^m Kerf=(gggg.....g)Kerf=(gKerf)(gKerf)(gKerf)(gKerf).......(gKerf)=(gKerf)^m και εχουμε το επιθυμητο.
τελικα ,απο θεωρημα ισομορφισμου ομαδων εχουμε οτι G/Kerf \cong Im f\Rightarrow G/Kerf \cong H_0
αρα εφοσον η G/Kerf κυκλικη και ισομορφη με την H_0 εχουμε οτι H_0 κυκλικη


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 19 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group