forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 25 Σεπ 2017, 15:09

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 14 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Σεπ 2016, 18:54 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 24 Σεπ 2014, 17:51
Δημοσ.: 48
Παιδιά , γιατί σε σώμα χαρακτηριστικής p (p διάφορος του 0 ) ισχύει ότι f(x^p)=(f(x))^p;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Σεπ 2016, 19:27 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 48
Ας είναι F ένα πεπερασμένο σώμα με p στοιχεία και f \in F[x].

Αν f(x) = a_{0} + a_{1}x + \cdots a_{n}x^{n}, τότε

f(x)^{p} = (a_{0} + a_{1}x + \cdots a_{n}x^{n})^{p} = a_{0}^{p} + a_{1}^{p}x^{p} + \cdots a_{n}^{p} x^{pn} (γιατί;).

Για κάθε a \in F ισχύει ότι a^{p} = a (γιατί;). Άρα,

f(x)^{p} = a_{0}x + a_{1}x^{p} + \cdots a_{n}x^{pn} = f(x^{p})

όπως θέλαμε.

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Τελευταία επεξεργασία απο Βασίλης4 την 12 Σεπ 2016, 20:03, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Σεπ 2016, 19:43 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 24 Σεπ 2014, 17:51
Δημοσ.: 48
Γιατί ισχύει το a^p=a ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Σεπ 2016, 20:04 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 48
Άλλαξα ελαφρώς την απάντησή μου, είχα στο μυαλό μου τη περίπτωση όπου το F είναι το \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Σεπ 2016, 20:11 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 24 Σεπ 2014, 17:51
Δημοσ.: 48
Αν το F έχει παραπάνω απο p στοιχεία ( μπορεί και άπειρο ) συνεχίζει να ισχύει ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Σεπ 2016, 20:31 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 48
Αν υποθέσουμε ότι το σώμα F είναι πεπερασμένο με q = p^{k} στοιχεία για κάποιο θετικό ακέραιο k,

τότε θα έχουμε f(x)^q = f(x^q), για κάθε f \in F[x] καθότι θα συνεχίζουν να ισχύουν τα εξείς:

1. Για κάθε a, b \in F, (a + b)^q = a^q + b^q και
2. Για κάθε a \in F, a^{q} = a.

Τώρα για την άπειρη περίπτωση δε το βλέπω αυτή τη στιγμή.

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Σεπ 2016, 20:33 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Γεια σας.

Αν το \displaystyle{\mathbb{F}} είναι πεπερασμένο με τάξη \displaystyle{q} , τότε, η πολλαπλασιαστική

ομάδα \displaystyle{U(\mathbb{F})=\mathbb{F}-\left\{0\right\}} έχει τάξη \displaystyle{q-1} ,

οπότε, για κάθε \displaystyle{a\in\mathbb{F}-\left\{0\right\}} ισχύει \displaystyle{a^{q-1}=1\iff a^q=a} .

Στην άπειρη περίπτωση : Έστω η άπειρη ακέραια περιοχή \displaystyle{\mathbb{Z}_{2}[x]} η οποία έχει

χαρακτηριστική \displaystyle{p=2} . Θεωρούμε το σώμα κλασμάτων αυτής,

\displaystyle{\mathbb{F}=\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\,,f(x)\,,g(x)\in\mathbb{Z}_{2}[x]\,\,,g(x)\neq \mathbb{O}\right\}}

το οποίο είναι άπειρο και έχει χαρακτηριστική \displaystyle{p=2} .

Έστω \displaystyle{f(t)=x\,t\in\mathbb{F}[t]} .

Τότε, \displaystyle{f(t^2)=x\,t^2} ενώ, \displaystyle{(f(t))^2=x^2\,t^2\neq x\,t^2} .

Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Σεπ 2016, 11:37 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 48
Γειά σου Βαγγέλη,

καλό μου φαίνεται εμένα και μπράβο για το αντιπαράδειγμα!

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Σεπ 2016, 10:37 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 24 Σεπ 2014, 17:51
Δημοσ.: 48
Ναι όντως απλό και ωραίο το αντιπαράδειγμα !

Και γω ήμουν σίγουρος ότι δεν πρέπει να ισχύει γιατί αν έχουμε f(x^p)=(f(x))^p θα πρέπει υποχρεωτικά

να έχουμε και a^p=a \forall a \in \mathbb{F} δηλαδή το πολυώνυμο x^p-x θα έχει άπειρες ρίζες

όταν το σώμα είναι άπειρο , πράγμα που δε μπορεί να συμβεί. ( καλά δε τα λέω ; )

Υ.Γ: Έκανα την ερώτηση γιατί έχω ένα φυλλάδιο με ασκήσεις της θεωρίας Galois και μια άσκηση έλεγε να δείξουμε ότι σε

σώμα χαρακτηριστικής p ισχύει το f(x^p)=(f(x))^p.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Σεπ 2016, 11:34 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Στο αντί - παράδειγμα, γιατί δεν ισχύει η ισότητα;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Σεπ 2016, 13:16 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 48
Για τον ίδιο λόγο που 1 \neq 0 σε ένα πεπερασμένο σώμα με δυο στοιχεία.

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Σεπ 2016, 14:05 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Altair έγραψε:
Στο αντί - παράδειγμα, γιατί δεν ισχύει η ισότητα;


Επειδή το \displaystyle{x\,t^2} είναι η ακολουθία

\displaystyle{\left(0,0,x,0,0,0,...\right)}

ενώ το \displaystyle{x^2\,t^2} είναι η ακολουθία

\displaystyle{\left(0,0,x^2,0,0,0,...\right)}

και \displaystyle{x^2\neq x} στο σώμα \displaystyle{\mathbb{F}} .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Σεπ 2016, 16:34 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Το x δεν παίρνει τιμές 0 ή 1; (διαφορετικά, κάτι δεν κατάλαβα)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σώμα χαρακτηριστικής p
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Σεπ 2016, 16:43 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 48
Όχι, το σώμα F που όρισε ο Βαγγέλης έχει ως στοιχεία του ρητές πολυωνυμικές συναρτήσεις με συντελεστές από το \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.

Έτσι, το x θα είναι απλά η ακολουθία (0,1,0,0,\cdots) στο \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x] και δεν μπορεί να είναι το ίδιο με το x^{2}, δηλαδή την ακολουθία (0,0,1,0,\cdots) στο \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x].

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 14 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group