forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Σεπ 2017, 13:09

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ισόμορφος με δυναμοσύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιούλ 2016, 13:27 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Γεια σας. Μια πολύ όμορφη αλλά και εξαιρετικά δύσκολη άσκηση. Μου άρεσε και την μοιράζομαι.

Έστω \displaystyle{R} ένας πεπερασμένος δακτύλιος του \displaystyle{\rm{Boole}} . Αποδείξτε ότι

υπάρχει μη κενό σύνολο \displaystyle{X} τέτοιο, ώστε \displaystyle{R\cong \mathbb{P}(X)} ως δακτύλιοι.

Σχόλιο: Το δυναμοσύνολο \displaystyle{\mathbb{P}(X)} ενός μη κενού συνόλου \displaystyle{X}

αποκτά δομή δακτυλίου με πρόσθεση την συμμετρική διαφορά συνόλων και πολλαπλασιασμό την τομή συνόλων.

Το μηδενικό στοιχείο είναι το κενό σύνολο ενώ η μονάδα είναι το σύνολο \displaystyle{X} .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ισόμορφος με δυναμοσύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιούλ 2016, 23:30 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 48
Γειά σου Βαγγέλη,

υποπτεύομαι (χωρίς να το έχω αποδείξει) ότι αν θέσεις X το σύνολο των ατόμων της άλγεβρας Boole που επάγεται από τη R, τότε R \cong \mathcal{P}(X). Αυτό είχες στο μυαλό σου; Αν όχι, τότε μην μας αποκαλύψεις ακόμα τη λύση!

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ισόμορφος με δυναμοσύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιούλ 2016, 11:21 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Καλημέρα Βασίλη. Δεν είχα αυτό στο μυαλό μου.

Μπορείς να ορίσεις το σύνολο των ατόμων της άλγεβρας Boole που επάγεται από τον \displaystyle{R} ;

Δεν το έχω ξαναδει αυτό.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ισόμορφος με δυναμοσύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Ιούλ 2016, 21:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Πρέπει να δείξουμε λοιπόν : R\cong (P(X);\oplus ,\cdot  )
Για το σύνολο M \in P(X) ορίζουμε την χαρακτηριστική συνάρτηση τού \dispaystyle{M}, δηλαδή

\varphi _{M}:= \left\{\begin{matrix}
1 & \varepsilon \alpha \nu \ x\in M\\ 
0 & \varepsilon \alpha \nu \ x \notin M
\end{matrix}\right.

Τότε η απεικόνιση \Phi : P(X)\rightarrow T_{2}^{X} που σε κάθε στοιχείο \dispaystyle{M} από το P(X) αντιστοιχίζει την χαρακτηριστική του συνάρτηση \varphi _{M}, είναι ένας ισομορφισμός.
Η ερριπτικότητα της \Phi είναι προφανής
Εάν τώρα \varphi \in T_{2}^{X} και M:=\{x|x \in X \wedge \varphi (x)=1\}, τότε ισχύει \varphi =\varphi _{M} που καταδεικνύει την επιρριπτικότητα. Τελικά ισχύει

(\varphi _{M}\oplus \varphi _{N})(x)=\left\{\begin{matrix}
1\ \varepsilon \alpha \nu \ (x\in M \vee x\in N)\wedge x\notin MN & \\
0 \ \epsilon \alpha \nu \ (x\notin M \wedge x\notin N)\vee  x\in MN & 
\end{matrix}\right.

(\varphi _{M}\cdot \varphi _{N})(x)=\left\{\begin{matrix}
1\ \varepsilon \alpha \nu \ x\in M \wedge x\in N & \\
0 \ \epsilon \alpha \nu \ x\notin M \vee x\notin N & 
\end{matrix}\right.

δηλαδή επίσης
\varphi _{M}\oplus \varphi_{N}=\varphi _{M\oplus N} και \varphi _{M}\cdot\varphi_{N}=\varphi _{M\cdot N}


ΥΣ
Πρέπει να διευκρινίσω ορισμένα σημεία για να φανεί η ιδέα της απόδειξης...
1)
T_{2}^{X}, είναι το σύνολο όλων των απεικονίσεων f:X\rightarrow T_{2}, απο το τυχαίο σύνολο {X} στο T_{2}=\{0,1\}}
Γιά κάθε ζευγάρι απεικονίσεων ισχύει τὀτε:
(f\oplus g)(x):=f(x)\oplus g(x)
(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)
Τότε είναι το
(T_{2}^{X};\oplus ,\cdot) ένας δακτύλιος του Boole, o B(X)

2)
Γιά τα σύνολα M,N \in P(X) έχουμε :
M\oplus N=(\bar{M}\cap N)\cup (\bar{M}\cap N)
M\cdot N=M\cap  N
οπότε το P(X) γίνεται δακτύλιος τού Boole, ο (P(X);\oplus ,\cdot), όπου το κενό σύνολο \varnothing
και το σύνολο {X} το ίδιο παίζουν τον ρόλο τών ουδετέρων στοιχείων Μηδέν και Ένα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group