forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2017, 23:38

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Μάιος 2016, 16:47 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 33
Κατασκευάστε έναν προσεταιριστικό δακτύλιο χωρίς μονάδα, ο οποίος δεν έχει μέγιστα ιδεώδη.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Ιουν 2016, 23:41 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 49
Μετά από υπόδειξη του Βαγγέλη, για να δώσουμε παράδειγμα δακτύλιου χωρίς μονάδα ο οποίος δεν έχει maximal ιδεώδη, αρκεί να βρούμε μια αβελιανή ομάδα η οποία να μην έχει maximal υποομάδες και να ορίσουμε εκεί πολλαπλασιασμό να είναι τετριμμένα μηδέν.

Οπότε ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η (προσθετική) ομάδα \mathbb{Q} των ρητών αριθμών. Γενικότερα, κάθε διαιρετή (divisible) ομάδα κάνει τη δουλειά. Ας δούμε γιατί :

Ορισμός. Μια αβελιανή ομάδα G ονομάζεται διαιρετή αν για κάθε g \in G και για κάθε n \in \mathbb{Z}_{>0} υπάρχει y \in G ώστε ny = g.

Πρόταση. (Άσκηση 10.25 | J. Rotman - An Introduction to the Theory of Groups) Μια ομάδα G είναι διαιρετή αν και μόνο αν δε περιέχει maximal υποομάδες.

Απόδειξη. (\Rightarrow) Ας είναι G μια διαιρετή ομάδα και M μια γνήσια μη τετριμμένη maximal υποομάδα αυτής. Τότε η G/M είναι απλή και αβελιανή. Αυτό είναι ισοδύναμο με το ότι η G/M είναι πεπερασμένη και έχει τάξη ένα πρώτο p. Ως πηλίκο διαιρετής είναι και αυτή διαιρετή. Αυτό όμως είναι αδύνατο, διότι αν πάρουμε n = \# G, τότε p|n και γι αυτό για κάθε g \in G έχουμε g + M = M που σημαίνει ότι G=M που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση.
(\Leftarrow) Την κατεύθυνση αυτή δεν την έχω καταφέρει ακόμα, αλλά μια ιδέα που νομίζω θα δουλέψει είναι η εξής : να υποθέσουμε ότι η G δεν είναι διαιρετή και έτσι να εξασφαλίσουμε μια μη τετριμμένη υποομάδα nG για κάποιο n \in \mathbb{Z}_{>0} (ίσως να θεωρήσουμε τον ελάχιστο τέτοιο θετικό ακέραιο), στη συνέχεια να πάρουμε το πηλίκο G/nG και να βρούμε maximal υποομάδα της (ίσως να σπάσουμε διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με το αν ο n είναι πρώτος ή όχι).

Γενικότερα, βρήκα αυτό το paper που απότι φαίνεται κατασκευάζει πιο "ζωντανά" παραδείγματα δακτυλίων χωρίς maximal ιδεώδη.

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group