[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/df9c23d55140ec66563e0f39d2b68b29.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4312: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4314: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4315: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4316: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
forum.math.uoa.gr • Προβολή θέματος - Χωρίς μέγιστα ιδεώδη

forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Μάιος 2018, 10:50

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Μάιος 2016, 16:47 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 34
Κατασκευάστε έναν προσεταιριστικό δακτύλιο χωρίς μονάδα, ο οποίος δεν έχει μέγιστα ιδεώδη.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Χωρίς μέγιστα ιδεώδη
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Ιουν 2016, 23:41 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 52
Μετά από υπόδειξη του Βαγγέλη, για να δώσουμε παράδειγμα δακτύλιου χωρίς μονάδα ο οποίος δεν έχει maximal ιδεώδη, αρκεί να βρούμε μια αβελιανή ομάδα η οποία να μην έχει maximal υποομάδες και να ορίσουμε εκεί πολλαπλασιασμό να είναι τετριμμένα μηδέν.

Οπότε ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η (προσθετική) ομάδα \mathbb{Q} των ρητών αριθμών. Γενικότερα, κάθε διαιρετή (divisible) ομάδα κάνει τη δουλειά. Ας δούμε γιατί :

Ορισμός. Μια αβελιανή ομάδα G ονομάζεται διαιρετή αν για κάθε g \in G και για κάθε n \in \mathbb{Z}_{>0} υπάρχει y \in G ώστε [unparseable or potentially dangerous latex formula].

Πρόταση. (Άσκηση 10.25 | J. Rotman - An Introduction to the Theory of Groups) Μια ομάδα G είναι διαιρετή αν και μόνο αν δε περιέχει maximal υποομάδες.

Απόδειξη. (\Rightarrow) Ας είναι G μια διαιρετή ομάδα και M μια γνήσια μη τετριμμένη maximal υποομάδα αυτής. Τότε η [unparseable or potentially dangerous latex formula] είναι απλή και αβελιανή. Αυτό είναι ισοδύναμο με το ότι η [unparseable or potentially dangerous latex formula] είναι πεπερασμένη και έχει τάξη ένα πρώτο p. Ως πηλίκο διαιρετής είναι και αυτή διαιρετή. Αυτό όμως είναι αδύνατο, διότι αν πάρουμε [unparseable or potentially dangerous latex formula], τότε [unparseable or potentially dangerous latex formula] και γι αυτό για κάθε g \in G έχουμε [unparseable or potentially dangerous latex formula] που σημαίνει ότι [unparseable or potentially dangerous latex formula] που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση.
(\Leftarrow) Την κατεύθυνση αυτή δεν την έχω καταφέρει ακόμα, αλλά μια ιδέα που νομίζω θα δουλέψει είναι η εξής : να υποθέσουμε ότι η G δεν είναι διαιρετή και έτσι να εξασφαλίσουμε μια μη τετριμμένη υποομάδα nG για κάποιο n \in \mathbb{Z}_{>0} (ίσως να θεωρήσουμε τον ελάχιστο τέτοιο θετικό ακέραιο), στη συνέχεια να πάρουμε το πηλίκο [unparseable or potentially dangerous latex formula] και να βρούμε maximal υποομάδα της (ίσως να σπάσουμε διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με το αν ο n είναι πρώτος ή όχι).

Γενικότερα, βρήκα αυτό το paper που απότι φαίνεται κατασκευάζει πιο "ζωντανά" παραδείγματα δακτυλίων χωρίς maximal ιδεώδη.

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group