forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 25 Νοέμ 2017, 09:42

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ο μηδενιστής
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Μαρ 2016, 17:43 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 33
Έστω \displaystyle{_{R}\,M} ένα πιστό \displaystyle{R} - πρότυπο.

Δείξτε ότι αν το \displaystyle{_{R}\,M} είναι πρότυπο της \displaystyle{\rm{Noether}} , τότε ο

δακτύλιος \displaystyle{R} είναι της \displaystyle{\rm{Noether}} .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ο μηδενιστής
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Μαρ 2016, 00:44 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 50
(Απόπειρα Λύσης:)

Επειδή το M είναι R-πρότυπο της Noether, έπεται ότι είναι πεπερασμένα παραγόμενο R-πρότυπο.
Οπότε M = (m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{l}) για κάποιο l \in \mathbb{Z}_{>0} και κάποια m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{l} \in M. Ορίζουμε την απεικόνιση f : R \rightarrow M^{l} που δίνεται από

f(r) = (rm_{1}, rm_{2}, \cdots, rm_{l}), για r \in R.

O f είναι μονομορφισμός R-προτύπων. Πράγματι,

\ker f = \{r \in R : rm_{i} = 0, \forall 1 \leq i \leq n\} = \{r \in R : r \in Ann_{R}(M)=0\}=0

όπου Ann_{R}(M) = 0, διότι το M είναι πιστό R- πρότυπο. Από γνωστή πρόταση (Πόρισμα 3.1.5 στις σημειώσεις Μαλιάκα) το M^{l} είναι της Noether. Συνεπώς, ο R εμφυτεύεται σ' ένα πρότυπο της Noether και γι αυτό είναι Noether. (βλ. για παράδειγμα Πρόταση 3.1.4 στις σημειώσεις Μαλιάκα)

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ο μηδενιστής
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Μαρ 2016, 02:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Φεβ 2011, 15:17
Δημοσ.: 1135
Αν ο R δεν είναι μεταθετικός, δεν ισχύει ότι \ker f=\rm{Ann}_R(M).

Μπορείς να πάρεις μόνο ότι \rm{Ann_R(M)\subseteq \ker f.

_________________
Πρέπει να φανταστούμε τον Σίσυφο ευτυχισμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ο μηδενιστής
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2016, 23:19 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Φεβ 2011, 15:17
Δημοσ.: 1135
Το αποτέλεσμα δεν ισχύει αν ο R δεν είναι μεταθετικός.

Έστω R=\rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x]), όπου \phi\in \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x]) αν η \phi : \mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}[x] είναι \mathbb{R}-γραμμική.

Ο R είναι δακτύλιος με την πρόσθεση και την σύνθεση.

Έστω I_k=\{\phi \in \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x]) : \phi(x^i)=0,\; \forall i\geq k\}, k\geq 0.

Αν \phi, \psi \in I_k, g\in \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x]), φαίνεται εύκολα ότι \phi-\psi, g\circ \phi\in I_k, δηλαδή το I_k είναι ιδεώδες του \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x]) για κάθε k\geq 0.

Προφανώς I_k\subseteq I_{k+1}. Επιπλέον, η \phi : \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[x] με \phi(x^i)=1 για κάθε i\leq k και \phi(x^j)=0 για κάθε j\geq k+1 (και επεκτείνουμε \mathbb{R}-γραμμικά) ανήκει στο I_{k+1}, αλλά όχι στο I_k.

Άρα I_0\subsetneq I_1\subsetneq \cdots \subsetneq I_n\subsetneq \cdots. Δηλαδή ο \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x]) δεν είναι της Noether.

Το \mathbb{R}[x] είναι \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x])-πρότυπο με \phi\ast f(x)=\phi(f(x)) για κάθε \phi \in \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x]), f(x)\in \mathbb{R}[x].

Έχουμε \rm{Ann}_{\rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x])}(\mathbb{R}[x])=\{\phi \in \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x]) : \phi\ast f(x)=0,\; \forall f(x)\in \mathbb{R}[x]\} =\{\phi \in \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x]) : \phi(f(x))=0,\; \forall f(x)\in \mathbb{R}[x]\} =\{0_{\rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x])}\},

δηλαδή ο \mathbb{R}[x] είναι πιστό \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x])-πρότυπο.

Θα δείξουμε ότι ο \mathbb{R}[x] είναι απλό \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x])-πρότυπο, άρα θα είναι και της Noether.

Έστω N\leq \mathbb{R}[x] υποπρότυπο με N\neq \{0\}. Υπάρχει n(x)\in N, n(x)\neq 0. Επεκτείνουμε το \{n(x)\} σε μια βάση B του \mathbb{R}-γραμμικού χώρου \mathbb{R}[x].

Για κάθε i\in \mathbb{N}, r\in \mathbb{R} ορίζονται \mathbb{R}-γραμμικές απεικονίσεις \phi_{i,r} : \mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}[x] με \phi_{i,r}(n(x))=rx^i και \phi_{i,r}(\beta(x))=0 για κάθε \beta(x)\in B\setminus \{n(x)\}.

Εφόσον το N είναι \rm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[x])-υποπρότυπο του \mathbb{R}[x] πρέπει rx^i=\phi_{i,r}\ast n(x)\in N για κάθε i\in \mathbb{N}, r\in \mathbb{R}.

Αν f(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n\in \mathbb{R}[x], τότε f(x)=\phi_{0,a_0}(n(x))+\phi_{1,a_1}(n(x))+\cdots +\phi_{n,a_n}(n(x))\in N αφού N υποομάδα του \mathbb{R}[x].

Άρα, N=\mathbb{R}[x].

_________________
Πρέπει να φανταστούμε τον Σίσυφο ευτυχισμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group