forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 25 Σεπ 2017, 15:14

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ωραίο αποτέλεσμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μαρ 2016, 15:22 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
1. Αν \displaystyle{A} είναι ένας δακτύλιος διαίρεσης, τότε να αποδείξετε ότι το κέντρο \displaystyle{C(A)=\left\{a\in A: a\,x=x\,a\,,\forall\,x\in A\right\}}

είναι σώμα (με τις επαγόμενες πράξεις).

2. Δώστε δομή \displaystyle{C(A)} διανυσματικού χώρου στην αβελιανή ομάδα \displaystyle{\left(A,+\right)} και αποδείξτε ότι

αυτός ο διανυσματικός χώρος δεν μπορεί να έχει διάσταση ίση με \displaystyle{2} .

3. Ισχύει το αντίστροφο του 1. ; Δηλάδη, αν το κέντρο \displaystyle{C(A)} είναι σώμα, τότε είναι ο δακτύλιος \displaystyle{A} δακτύλιος διαίρεσης ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ωραίο αποτέλεσμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Απρ 2016, 20:59 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Μιας και έμεινε καιρό αναπάντητο, δίνω μια λύση.

1. Προφανώς, \displaystyle{0\,,1\in C(A)} .

Αν \displaystyle{a\,,b\in C(A)} , τότε \displaystyle{a\,x=x\,a\,,\forall\,x\in A\,\,,b\,x=x\,b\,,\forall\,x\in A} .

Έτσι, για κάθε \displaystyle{x\in A} έχουμε

\displaystyle{(a-b)\,x=a\,x-b\,x=x\,a-x\,b=x(a-b)}

\displaystyle{(a\,b)\,x=a\,(b\,x)=a\,(x\,b)=(a\,x)\,b=(x\,a)\,b=x\,(a\,b)}

που σημαίνει ότι \displaystyle{a-b\,,a\,b\in C(A)} .

Από όλα αυτά, το \displaystyle{C(A)} είναι υποδακτύλιος, προφανώς μεταθετικός, του \displaystyle{A} .

Θα δέιξουμε ότι κάθε μη μηδενικό στοιχείο αυτού έχει αντίστροφο που ανήκει επίσης στο κέντρο και τότε θα έχουμε τελειώσει.

Έστω λοιπόν \displaystyle{a\in C(A)-\left\{0\right\}} . Επειδή ο \displaystyle{A} είναι δακτύλιος

διαίρεσης, υπάρχει το \displaystyle{a^{-1}\in A-\left\{0\right\}} με \displaystyle{a\,a^{-1}=1=a^{-1}\,a} .

Για κάθε \displaystyle{x\in A} ισχύει

\displaystyle{\begin{aligned} a^{-1}\,x&=a^{-1}\,x\,(a\,a^{-1})\\&=a^{-1}\,(x\,a)\,a^{-1}\\&\stackrel{a\in C(A)}{=}a^{-1}\,(a\,x)\,a^{-1}\\&=a^{-1}\,a\,x\,a^{-1}\\&=x\,a^{-1}\end{aligned}}

οπότε \displaystyle{a^{-1}\in C(A)} , όπως θέλαμε.

2. Με την απεικόνιση \displaystyle{\star:C(A)\times A\to A\,,a\star x:=a\,x} , η αβελιανή ομάδα

\displaystyle{\left(A,+\right)} γίνεται \displaystyle{C(A)} - πρότυπο, αφού

\displaystyle{a\star (x+y)=a\,(x+y)=a\,x+a\,y=a\star x+a\star y\,,\forall\,a\in C(A)\,,\forall\,x\,,y\in A}

\displaystyle{(a+b)\star x=(a+b)\,x=a\,x+b\,x=a\star x+b\star x\,,\forall\,a\,,b\in C(A)\,,\forall\,x\in A}

\displaystyle{(a\,b)\star x=(a\,b)\,x=a\,(b\,x)=a\star (b\star x)\,,\forall\,a\,,b\in C(A)\,,\forall\,x\in A}

\displaystyle{1_{C(A)}\star x=1_{A}\,x=x\,,\forall\,x\in A}

Υποθέτουμε ότι \displaystyle{\dim_{C(A)}\,A=2} .

Εφ' όσον το \displaystyle{\left\{1\right\}} είναι \displaystyle{C(A)} - γραμμικώς ανεξάρτητο,

επεκτείνεται σε μια βάση \displaystyle{\left\{1,e\right\}} του \displaystyle{_{C(A)}\,A} .

Έστω \displaystyle{a=x\star 1+y\star e=x+y\,e\in A\,\,,x\,,y\in C(A)} . Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} e\,a&=e\,(x+y\,e)\\&=e\,x+e\,y\,e\\&=x\,e+y\,e\,e\\&=(x+y\,e)\,e\\&=a\,e\end{aligned}} .

Άρα, το \displaystyle{e} μετατίθεται με κάθε στοιχείο του \displaystyle{A} και άρα \displaystyle{e\in C(A)} .

Επειδή τώρα κάθε \displaystyle{a\in A} γράφεται ως \displaystyle{a=x(a)+y(a)\,e} , όπου

\displaystyle{x(a)\,,y(a)\,,e\in C(A)} , προκύπτει ότι \displaystyle{A=C(A)} , άτοπο.

'Ωστε, \displaystyle{\dim_{C(A)}\,A\neq 2} .

3.

Όχι, δεν ισχύει. Αν θεωρήσουμε τον δακτύλιο \displaystyle{A=\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R})} με τις

συνήθεις πράξεις πινάκων, έχουμε ότι

\displaystyle{C(A)=C(\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}))=\left\{x\,I_{2}\in\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}), x\in\mathbb{R}\right\}}.

Τότε, \displaystyle{C(A)\cong \mathbb{R}} μέσω της απεικόνισης

\displaystyle{f:\mathbb{R}\to C(A)\,,f(x)=x\,I_{2}}

αλλά ο \displaystyle{A} δεν είναι δακτύλιος διαίρεσης αφού


\displaystyle{\begin{pmatrix}
0 &1 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
0 &1 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 &0 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix}}

Παρατήρηση :

\displaystyle{\dim_{C(A)}\,A=4\neq 2} .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group