forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Σεπ 2017, 13:12

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Εύρεση μονομορφισμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Μαρ 2016, 17:03 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Να βρεθούν όλοι οι μονομορφισμοί δακτυλίων \displaystyle{f:\mathbb{R}[x]\longrightarrow  \mathbb{R}[x]} .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Εύρεση μονομορφισμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Μαρ 2016, 19:17 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 09 Σεπ 2014, 09:17
Δημοσ.: 54
Δε ξερω πως αποδεικνυεται,αλλα μπορεις να κοιταξεις στους ομομορφισμους δακτυλιων στο βιβλιο Εισαγωγη στην Αλγεβρα των Μαλιακα κλπ ,στις ασκησεις ή στα παραδειγματα ή στο πακετο ασκησεων του Μαλιακα που υπαρχει στις σημειωσεις φοιτητων(λογικα).Απο κει κ υστερα,νομιζω οτι οι μονοι ομομορφισμοι ειναι ο μηδενικος και ο ταυτοτικος(φ_0(χ)=0 για καθε πολυωνυμο χ και φ(χ)=χ ).Ο μηδενικος ομως δν ειναι ενα προς ενα αφου ο πυρηνας ειναι ολο το πεδιο ορισμου.Ο ταυτοτικος απο την αλλη ,ειναι μονομορφισμος.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Εύρεση μονομορφισμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Μαρ 2016, 00:08 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 48
kopa έγραψε:
Απο κει κ υστερα,νομιζω οτι οι μονοι ομομορφισμοι ειναι ο μηδενικος και ο ταυτοτικος(φ_0(χ)=0 για καθε πολυωνυμο χ και φ(χ)=χ ).Ο μηδενικος ομως δν ειναι ενα προς ενα αφου ο πυρηνας ειναι ολο το πεδιο ορισμου.Ο ταυτοτικος απο την αλλη ,ειναι μονομορφισμος.


Έστω F σώμα. Η απεικόνιση \phi : F[x] \rightarrow F[x] που δίνεται από \phi(f(x)) = f(x^{2}) για κάθε f(x) \in F[x] δεν είναι μονομορφισμός δακτυλίων ο οποίος δεν είναι αυτομορφισμός;

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Εύρεση μονομορφισμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Μαρ 2016, 22:54 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 09 Σεπ 2014, 09:17
Δημοσ.: 54
Δεν εχω καταλαβει για ποιον λογο ρωτας εμενα.Επισης,δεν εχω καταλαβει ακριβως την ερωτηση σου.
Παρ'ολα αυτα,ναι,μου φαινεται οτι η απεικονιση που εγραψες ειναι μονομορφισμος δακτυλιων.Αλλα ,επι νομιζω οτι δεν ειναι.Αν παρεις για παραδειγμα πολυωνυμο με περιττου βαθμου μονωνυμο g(x) δεν υπαρχει πολυωνυμο f(x) τετοιο ωστε \phi(f(x))=g(x).
Τελος,αμα ξερεις την ερωτηση που εκανε το παιδι γραφ'την


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Εύρεση μονομορφισμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μαρ 2016, 13:33 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Ορίστε μια λύση.

Έστω \displaystyle{T:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}[x]} ένας μονομορφισμός δακτυλίων.

Έχουμε \displaystyle{T(1)=T(1\cdot 1)=T(1)\cdot T(1)\iff T(1)(T(1)-1)=0} .

Επειδή ο δακτύλιος \displaystyle{\rm{Im}(T)\leq \mathbb{R}[x]} είναι ακέραια περιοχή, η \displaystyle{T}

είναι 1-1 και \displaystyle{T(0)=0} , έπεται ότι \displaystyle{T(1)=1} .

Έστω \displaystyle{a\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}}

(Ό,τι κάνω είναι για το σταθερό πολυώνυμο \displaystyle{a} που είναι αντιστρέψιμο) . Τότε,

\displaystyle{T(a\,a^{-1})=T(1)=1\iff T(a)\,T(a^{-1})=1\implies \exists\, (T(a))^{-1}}

Ώστε \displaystyle{T(a)=c\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}} .

Μετά την παρατήρηση ότι ο μονομορφισμός μας απεικονίζει τους πραγματικούς στους πραγματικούς, η παρακάτω

επεξεργασία μας δίνει ότι \displaystyle{T(a)=a\,,\forall\,a\in\mathbb{R}} .

http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 83#p250560

Συνεπώς, για τυχόν \displaystyle{f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}(f)\,x^i\in\mathbb{R}[x] έχουμε

\displaystyle{\begin{aligned} T(f(x))&=T\,\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}(f)\,x^{i}\right)\\&=\sum_{i=0}^{n}T(a_{i}(f)\,x^{i})\\&=\sum_{i=0}^{n}T(a_{i}(f))\,T(x^{i})\\&=\sum_{i=0}^{n}a_{i}(f)\,(T(x))^{i}\end{aligned}}

Βλέπουμε λοιπόν ότι ο μονομορφισμός \displaystyle{T} καθορίζεται πλήρως από την τιμή της στο βασικό

πολυώνυμο \displaystyle{x} . Έστω \displaystyle{T(x)=q(x)\in\mathbb{R}[x]} . Τότε

\displaystyle{T(a_0+a_1\,x+...+a_n\,x^n)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}(q(x))^{i}} .

Εύκολα επαληθεύουμε ότι μια απεικόνιση όπως η παραπάνω είναι μονομορφισμός δακτυλίων.

Έτσι, αν δεν κάνω λάθος, η απεικόνιση που όρισε ο Βασίλης, είναι ειδική περίπτωση .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group