forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Νοέμ 2017, 22:37

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση με πολυώνυμο.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Δεκ 2014, 17:46 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 10 Ιούλ 2014, 13:45
Δημοσ.: 27
Έστω πολυώνυμο f(x) με ακέραιους συντελεστές. Έστω (a_n)_n ακολουθία ακεραίων τέτοια ώστε a_0=0, a_{n+1}=f(a_n), \forall n. Δείξτε πως αν υπάρχει θετικός ακέραιος m, έτσι ώστε a_m=0, τότε είτε a_1=0, ή a_2=0.


Τελευταία επεξεργασία απο senKetsu την 31 Δεκ 2014, 16:33, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση με πολυώνυμο.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Δεκ 2014, 00:27 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Μήπως εννοείς θεωρείστε αυτήν την ακολουθία, και όχι βρείτε; Τεσπα, αν εννοείς αυτό, νομίζω ότι το παρακάτω επιχείρημα οδηγεί σε λύση:

Έστω c ο σταθερός όρος του πολυωνύμου. Αν c=0 τότε a_1=0. Αν c\neq 0 τότε επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε ότι c|a_n (ισχύει για a_0=0, a_1=c, και αν ισχύει για a_{n-1}, ισχύει για a_n). Όμως από γνωστό θεώρημα αν ένα πολυώνυμο με ακέραιος συντελεστές έχει ρίζα, η ρίζα αυτή θα διαιρεί το σταθερό του όρο. Άρα, a_m=0\Rightarrow f(a_{m-1})=0 \Rightarrow a_{m-1}|c. Όμως ισχύει και c|a_{m-1} άρα a_{m-1}=c=a_1, άρα a_2=f(a_1)=f(a_{m-1})=a_m=0. Συνεπώς έχουμε το ζητούμενο.

Επίσης, η άσκηση θα μπορούσε να τεθεί (γεγονός που εύκολα προκύπτει από το ζητούμενο της άσκησης, αλλά φαίνεται πολύ δυσκολότερο) ως: Αποδείξτε ότι η ακολουθία είναι της μορφής 0,x,0,x,... για κάποιο x\in \mathbb{Z}.

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση με πολυώνυμο.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Δεκ 2014, 14:58 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 10 Ιούλ 2014, 13:45
Δημοσ.: 27
Ναι σόρρυ, μου ξέφυγε η εκφώνηση.
Διόρθωσε με αν κάνω λάθος, αλλά αφού a_{m-1}|c, c|a_{m-1}, τότε δεν θα πρέπει να ελεγχθεί και η περίπτωση a_{m-1}=-c;
Επίσης, αν a_1=0 τότε η ακολουθία πως θα είναι της μορφής που είπες;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση με πολυώνυμο.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Δεκ 2014, 19:23 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Για την πρώτη ερώτηση έχεις δίκιο ξεχάστηκα τελειώς! Για την δεύτερη είναι αυτής της μορφής με x=0 :)

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση με πολυώνυμο.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Δεκ 2014, 20:22 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 10 Ιούλ 2014, 13:45
Δημοσ.: 27
Ωχ ναι, όλα θα μηδενίζονται σε αυτην την περιπτωση. Πρώτα γράφω και μετά σκέφτομαι. :oops:
Για τη λύση που παραθέτω έχω μια μικρή ανησυχία. Αν υπάρχει λάθος φαντάζομαι όμως όλο και κάποιος θα το βρει :P

Ας οριστεί μία ακολουθία x_n=a_{n+1}-a_n και εφόσον x_n|x_{n+1}(*), a_m=a_0(=0) \Rightarrow f(a_m)=f(a_0) \Rightarrow a_{m+1}=a_1 \Rightarrow x_0=x_m.
Αν x_0=0 τότε παίρνουμε πως όλοι οι όροι της a_n μέχρι και το m, είναι 0. (από (*))
Αν x_0 \neq 0, τότε (πάλι από (*)) θα πάρουμε ότι |x_0|=|x_1|=\dots =|x_{m-1}|.
Επίσης, x_0 + \dots + x_{m-1} = a_m - a_0 = 0-0 =0 και είναι ακέραιοι και ίσοι με ±x_0, άρα, x_{p-1}=-x_p, για κάποιον ακέραιο. Δηλαδή a_p-a_{p-1}=-a_{p+1}+a_p \Rightarrow a_{p-1}=a_{p+1}.
Με επαγωγή, ισχύει ότι a_n=a_{n+2}, \foreach n > p-2, άρα 0=a_m=a_{m+2}=f(a_{m+1})=f(f(a_m))=f(f(a_0))=a_2

Η * αιτιολογείται από το γεγονός οτι αν το πολυώνυμο έχει ακ συντελεστές τότε m-n|f(m)-f(n)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση με πολυώνυμο.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Δεκ 2014, 20:35 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Ιούλ 2014, 12:59
Δημοσ.: 39
Η λύση είναι σωστή senketsu; η διάκριση για c\neq 0 και πως θα έχουν μετά ίδια απόλυτη τιμή ήταν ωραία. Ενδιαφέρον πρόβλημα για περιοδικές ακολουθίες πολυωνύμων.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση με πολυώνυμο.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Ιαν 2015, 16:44 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Καταπληκτική λύση senketsu!

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group