forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Σεπ 2017, 13:15

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Δύσκολη ταυτότητα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Αύγ 2014, 09:13 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Αποδείξτε ότι:
\prod_{1\leq i < j \leq n}(\sigma(j)-\sigma(i)\)=1!2!...(n-1)!

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Δύσκολη ταυτότητα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Αύγ 2014, 12:13 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 21 Σεπ 2012, 13:22
Δημοσ.: 13
captainjp έγραψε:
Αποδείξτε ότι:
\prod_{1\leq i < j \leq n}(\sigma(j)-\sigma(i)\)=1!2!...(n-1)!

Υποθέτω ότι το σωστό είναι |\prod_{1\leq i < j \leq n}(\sigma(j)-\sigma(i)\))|=1!2!...(n-1)!
Έχουμε ότι \prod_{1 \leq i < j \leq n}(\sigma(j)-\sigma(i))=(-1)^{\binom{n}{2}} \prod_{1\leq i < j \leq n}(\sigma(i)-\sigma(j))=(-1)^{\binom{n}{2}} \prod_{1 \leq j < i \leq n}(\sigma(j)-\sigma(i)).
Άρα \left(\prod_{1 \leq i < j \leq n}(\sigma(j)-\sigma(i))\right)^{2}=\left ( \prod_{1 \leq i < j \leq n}(\sigma(j)-\sigma(i)) \right)\left ( (-1)^{\binom{n}{2}} \prod_{1 \leq j < i \leq n}(\sigma(j)-\sigma(i)) \right)= (-1)^{\binom{n}{2}} \prod_{i \neq j}(\sigma(j)-\sigma(i)) = (-1)^{\binom{n}{2}} \prod_{i \neq j}(j-i) γιατί τα (i,j) με i\neq j βρίσκονται σε ένα προς ένα και επί αντιστοιχία με τα (\sigma(i),\sigma(j)) με i\neq j.
Όμως (-1)^{\binom{n}{2}} \prod_{i \neq j}(j-i)=\left(\prod_{1 \leq i < j \leq n}(j-i)\right)^{2} (Το δείξαμε για τυχούσα μετάθεση \sigma και άρα και για την ταυτοτική)
Στο τελευταίο γινόμενο έχουμε ότι j-i \in  \left\{{1,2, \cdots , n-1}\right\} και για κάθεk \in  \left\{{1,2, \cdots , n-1}\right\} υπάρχουν ακριβώς n-k (i,j) ώστε j-i=k, τα (1,k+1), \cdots , (n-k,n). Άρα έχουμε \left(\prod_{1 \leq i < j \leq n}(j-i)\right)^{2}=\left(\prod_{1 \leq k \leq n-1}k^{n-k}\right)^{2}=\left(\prod_{1 \leq k \leq n-1}\prod_{1 \leq i \leq n-k}k\right)^{2}= \left(\prod_{1 \leq i \leq n-1}\prod_{1 \leq k \leq n-i}k\right)^{2}=\left(\prod_{1 \leq i \leq n-1}(n-i)!\right)^{2}= \left(\prod_{1 \leq i \leq n-1}(n-i)!\right)^{2}= \left(1! \cdots (n-1)!\right)^{2}
Το ζητούμενο έπεται.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Δύσκολη ταυτότητα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Αύγ 2014, 13:18 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Σωστός! Είχα υπόψη μου μια λίγο πιο περίπλοκη λύση αλλά με ίδια ουσία!

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group