forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Νοέμ 2017, 22:39

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: θ.galois
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Μαρ 2014, 14:48 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 21 Οκτ 2011, 18:27
Δημοσ.: 79
Γεια σας,μπορειτε να με βοηθησετε στις παρακατω ασκησεις
1)εστω σωμα Κ χαρακτηριστικης Ο και εστω το πολυωνυμο x^{4}-16x^{2}+4 ειναι αναγωγο υπερ του K.Εστω α το στοιχειο του X+<χ^{4}-16χ^{2}+4> του σωματος L=K[X]/<χ^{4}-16χ^{2}+4>.Προσδιορειστε τα ελαχιστα πολυωνυμα των στοιχειων a^{2}, a^{3}-14a, a^{3}-18a.

2)Εστω α στοιχειο του X+<x^{3}+x+1> του σωματος K=Z_{2}[X]/<x^{3}+x+1>.Προσδιοριστε τα 8 στοιχεια του σωματοσ K και δειξτε οτι το K/\left\{0\right\}ειναι μια κυκλικη ομαδα ταξης 7 με γεννητορα το a.

ευχαριστω πολυ


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: θ.galois
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Μαρ 2014, 16:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
mathimatka9 έγραψε:
2)Εστω α στοιχειο του X+<x^{3}+x+1> του σωματος K=Z_{2}[X]/<x^{3}+x+1>.Προσδιοριστε τα 8 στοιχεια του σωματοσ K και δειξτε οτι το K/\left\{0\right\}ειναι μια κυκλικη ομαδα ταξης 7 με γεννητορα το a.


Αρκεί να παρατηρήσεις ότι τα στοιχεία του σώματος K είναι τα υπόλοιπα της διαίρεσης των πολυωνύμων στο Z_{2}[X] με το πολυώνυμο f(x)=x^{3}+x+1. Τα υπόλοιπα πρέπει να έχουν βαθμό μικρότερο από \deg f=3 ή ισοδύναμα μικρότερο ή ίσο με 2. Άρα τα στοιχεία του K είναι της μορφής ax^2+bx+c, με a,b,c\in \mathbb{Z}_2. Εφόσον το \mathbb{Z}_2 έχει δύο στοιχεία, υπάρχουν συνολικά 2 επιλογές για το a, 2 για το b και δύο για το c, δηλαδή 2\cdot 2\cdot 2=2^3. Αφαιρώντας το 0 παίρνεις ότι |
K/\left\{0\right\}|=7.

Για το άλλο ερώτημα, βολεύει να κάνεις πρώτα μια καταγραφή των 7 αυτών στοιχείων- 1+<f(x)>,\;x+<f(x)>,\;\cdots,\;x^2+x+1+<f(x)> κλπ. Εξ ορισμού x+<f(x)>=a,x^2+<f(x)>=a^2.

Για τα υπόλοιπα, "πάιξε" με την Ευκλείδια διαίρεση με το f(x) ως εξής:

1\cdot(x^3+x+1)+x+1=x^3+2x+2=x^3 άρα x^3\cong x+1\mod f(x)\Rightarrow x+1=a^3

x(x^3+x+1)+x^2+x=x^4+x^2+x+x^2+x=x^4+2x^2+2x=x^4 άρα x^2+x=a^4

κ.ο.κ μέχρι το

(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^3+x+1)+1=\cdots=x^7 αρα 1=a^7.

Ελπίζω να είναι κατανοητά αυτά που γράφω και να βοηθάνε - μη διστάσεις να με διορθώσεις ή να μου ζητήσεις επεξήγηση!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: θ.galois
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Μαρ 2014, 17:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
mathimatka9 έγραψε:
1)εστω σωμα Κ χαρακτηριστικης Ο και εστω το πολυωνυμο x^{4}-16x^{2}+4 ειναι αναγωγο υπερ του K.Εστω α το στοιχειο του X+<x^{4}-16χ^{2}+4> του σωματος L=K[X]/<x^{4}-16χ^{2}+4>.Προσδιορειστε τα ελαχιστα πολυωνυμα των στοιχειων a^{2}, a^{3}-14a, a^{3}-18a.

(Διόρθωσε λίγο το tex σου γιατί έχεις κάποια ελληνικά χ αντί για αγγλικά x και δεν φαίνεται καλά :wink: )

Εξ ορισμού το f(x)=x^4-16x^2+4 είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του a, δηλαδή f(a)=0. Αν πάρεις g(x)=x^2-16x+4, τότε g(a^2)=f(a)=0. Επίσης, επειδή f(x)=g(x^2), από το ότι f(x) ανάγωγο (ως ελάχιστο πολυώνυμο) συμπεραίνεις ότι g(x) ανάγωγο - θέλει λίγο καλύτερη δικαιολόγηση εδώ, βγαίνει με άτοπο, αν δεν σου είναι σαφές πες μου να στο γράψω. Άρα το g είναι το ελάχιστο του a^2.

Έχεις λοιπόν ότι a^4+16a^2+4=0(*) και διαδοχικά γράφεις:

b=a^3+14a\Rightarrow b^2=a^6-28a^4+196a^2=a^2(a^4-28a^2+196)

=a^2(a^4-16a^2+4-12a^2+192)=a^2(-12a^2+192)
=-12(a^4-16a^2)=-12(-4)=48.

Άρα b^2-48=0, οπότε με λίγη δικαιολόγηση μπορείς να δείξεις ότι το x^2-48 είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του a^3-14a.

Παράθεση:
Ελπίζω να είναι κατανοητά αυτά που γράφω και να βοηθάνε - μη διστάσεις να με διορθώσεις ή να μου ζητήσεις επεξήγηση!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: θ.galois
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Μαρ 2014, 14:04 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 21 Οκτ 2011, 18:27
Δημοσ.: 79
Ειναι οκ.ευχαριστω πολυ για την βοηθεια


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group