forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Νοέμ 2017, 22:27

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: δακτυλιοι
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2014, 19:06 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 21 Οκτ 2011, 18:27
Δημοσ.: 79
γεια σας,
μπορειτε να με βοηθησετε σην επομενη ασκηση
προσδιοριστε την χαρακτηριστικη του δακτυλιου Z_{6} και δειξτε οι σε αυον ον δακτυλιο αν a^{2}=0 τοτε a=0. για ποιουσ αλλους ακεραιους n εχει ο δακτυλιος Z_{n} αυτην την ιδιοτητα?

ευχαριστω πολυ


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: δακτυλιοι
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2014, 19:22 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Για το πρώτο ερώτημα, ισχύει γενικά το ακόλουθο:
Ο δακτύλιος Z_{n} έχει χαρακτηριστική n. (Θέλει απόδειξη)
Οπότε, ο Z_{6} έχει χαρακτηριστική 6. (Το συγκεκριμένο μπορείς να το επαληθεύσεις)

Για το δεύτερο ερώτημα, μπορείς να δεις ότι για a\in \{1,2,3,4,5\}, a^2 \not = 0 στο Z_{6}.
Επομένως, έχεις ότι αν a\in Z_{6} με a^{2}=0 τότε αναγκαστικά a=0.

Για την γενίκευση της ερώτησης θα απαντήσω σύντομα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: δακτυλιοι
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2014, 20:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 22 Σεπ 2012, 18:06
Δημοσ.: 480
Τοποθεσια: Pasadena, CA
Γενικά παρατήρησα ότι αυτό δεν ισχύει αν στην ανάλυση σε γινόμενο πρώτων του n κάποιος πρώτος είναι στο τετράγωνο ή σε μεγαλύτερη δύναμη. Αν γράψεις το n και το α σε γινόμενο πρώτων και χρησιμοποιήσεις ότι α^2=0 σημαίνει n|α^2 και ότι α=0 σημαίνει n|α θα δεις ότι η συνεπαγωγή αυτή ισχύει όταν γ<=2δ --> γ<=δ και πρέπει δηλαδή γ=1. Τα γ και δ είναι οι δυνάμεις των πρώτων.

_________________
ΒΓΑΛΤΕ ΠΙΑ ΤΑ ΓΥΑΛΙΑ ΗΛΙΟΥ ΟΤΑΝ ΜΠΑΙΝΕΤΕ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: δακτυλιοι
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2014, 20:10 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Για ποια n ισχύει ότι αν a\in Z_{n} με a^{2}=0 τότε αναγκαστικά a=0;

Έστω n φυσικός αυστηρά θετικός. Αν p_1 ,p_2, ..., p_k όλοι οι πρώτοι ως και τον n, τότε θα υπάρχουν φυσικοί m_1 ,m_2, ..., m_k ώστε: n= p_1 ^{m_1} p_2^{m_2} ... p_k^{m_k}.
Επιπλέον, για κάθε a\in Z_{n}, μη μηδενικό, θα υπάρχουν φυσικοί d_1 ,d_2, ..., d_k ώστε a = p_1 ^{d_1} p_2^{d_2} ... p_k^{d_k}.

Καθώς a^{2}=0 στο Z_{n} θα πρέπει αναγκαστικά: m_i \leq 2d_iγια κάθε i=1,2,...,k.
Επομένως, αν κάποιο m_j είναι μεγαλύτερο του 1, τότε ο a=p_1 ^{m_1} p_2^{m_2}... p_j^{m_j -1} ... p_k^{m_k} είναι ένα στοιχείο του Z_{n} με a^{2}=0 και a \not=0.

Άρα, αρκεί να περιοριστούμε στα n που είναι είτε πρώτοι αριθμοί είτε γινόμενα ανά δύο διαφορετικών πρώτων αριθμών για να ισχύει η ιδιότητα που θέλουμε.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: δακτυλιοι
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2014, 20:13 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 22 Σεπ 2012, 18:06
Δημοσ.: 480
Τοποθεσια: Pasadena, CA
Πάλι καλά που ξέρεις Λατέχ

_________________
ΒΓΑΛΤΕ ΠΙΑ ΤΑ ΓΥΑΛΙΑ ΗΛΙΟΥ ΟΤΑΝ ΜΠΑΙΝΕΤΕ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group