forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Νοέμ 2017, 22:34

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση Θεωρίας Αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Φεβ 2014, 16:15 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Αν α/β=γ/δ και ΜΚΔ(α , β)=ΜΚΔ(γ , δ)=1 τότε α=γ και β=δ (α, β, γ, δ φυσικοί αριθμοί).Ευχαριστώ όποιον βοηθήσει!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άακηση Θεωρίας Αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Φεβ 2014, 16:40 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Έστω A= 
\begin{pmatrix}
  a & b  \\
  c & d \\
 \end{pmatrix}.

Από την υπόθεση, έχουμε ότι: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\ ή ad=cb\\ ή ad-cb=0.

Επομένως, detA=0 \\ ή k(a,b) = (c,d) \\, καθώς οι γραμμές του πίνακα Α είναι γραμμικά εξαρτημένες.

Άρα: c=ka \\ και d=kb , όπου k\in \mathbb{R}.

Από την υπόθεση: 1=gcd(c,d)=gcd(ka,kb)=k*gcd(a,b)=k*1=k, άρα: c=a και b=d.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άακηση Θεωρίας Αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Φεβ 2014, 19:36 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Altair δύο πράγματα:
1) Αν detA=0 οι γραμμές του πίνακα είναι γραμμικά εξαρτημένες, όντως ισχύει; Συγχώρεσε με πάνε 9 χρόνια από τότε που ασχολήθηκα τελευταία φορά με γραμμική άλγεβρα
2) Είναι δυνατόν να λυθεί χωρίς γραμμική άλγεβρα, μόνο με θεωρία αριθμών;
ΥΠΕΡΕΥΧΑΡΙΣΤΩ!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άακηση Θεωρίας Αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Φεβ 2014, 20:09 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Για το 1:
http://math.stackexchange.com/questions/355644/what-does-it-mean-to-have-a-determinant-equal-to-zero


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άακηση Θεωρίας Αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Φεβ 2014, 20:42 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Altair το έλυσα και ως εξής: Έστω α>γ. Τότε α/β=γ/δ συνεπάγεται αδ=βγ άρα α διαιρεί το βγ και επειδή ΜΚΔ(α,β)=1 ισχύει ότι το
α διαιρεί το γ δηλαδή υπάρχει φυσικός μ ώστε γ=μα>=α που είναι άτοπο
Έστω γ>α. Τότε α/β=γ/δ συνεπάγεται αδ=βγ άρα γ διαιρεί το αδ και επειδή ΜΚΔ(γ,δ)=1 ισχύει ότι το
γ διαιρεί το α δηλαδή υπάρχει φυσικός ν ώστε α=νγ>=γ που είναι άτοπο
Κατά συνέπεια α=γ και συνακόλουθα β=δ.
Ευχαριστώ για τον χρόνο που αφιέρωσες!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άακηση Θεωρίας Αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Φεβ 2014, 20:47 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Για το 2:

Με ιδιότητες του gcd.

1=gcd(a,b)=gcd(a+cb,b)=gcd(a+ad,b)=gcd(a(1+d),b).

Άρα: gcd(1+d,b)=1.

Όμοια: gcd(1+c,a)=1.

Άρα b,d άρτιοι ή περιττοί και a,c άρτιοι ή περιττοί.

Όμως: gcd(a,b)=1=gcd(c,d).

Άρα: ή a,c άρτιοι και b,d περιττοί, ή a,c περιττοί και b,d άρτιοι.

Άρα υπάρχουν m,n φυσικοί ώστε: b=nd , a=mc.

Με αντικατάσταση στη δοσμένη σχέση, προκύπτει m=n, και από το πρώτο μου πόστ έχεις το ζητούμενο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άακηση Θεωρίας Αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιουν 2014, 00:18 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Βασικά το "νόημα" της άσκησης είναι ότι ένας ρητός q γράφεται μονοσήμαντα στη μορφή q=\frac{a}{b} , gcd(a,b)=1. Συνεπώς αφού
q=\frac{a}{b}=\frac{c}{d} με gcd(a,b)=1 gcd(c,d)=1 πρέπει να έχω a=c, b=d.

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group