forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Οκτ 2017, 02:17

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 49 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3, 4  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Ιαν 2007, 21:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Απρ 2006, 17:11
Δημοσ.: 146
Έστω G μια άπειρη κυκλική ομάδα και Η μια

μη τετριμμένη υποομάδα της. Δείξτε ότι [G:H] < \infty.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2007, 10:50 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Να δείξουμε πρώτα ότι κάθε άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με το \mathbb{Z};


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2007, 11:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
έστω g παράγει την άπειρη ομάδα G. Τότε η \phi: \mathbb{Z} \rightarrow G με \phi(n)=g^n είναι ισομορφισμός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2007, 11:52 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3625
Τοποθεσια: Αθήνα
Αφού έχετε όλοι χρόνο για σκεφθείτε το παρακάτω:

Τυπικά έχουμε: Να βρεθούν πληροφορίες για την ομάδα πηλίκο
(\mathbb{R} , +) /(\mathbb{Z} ,+)
Θα μπορούσε όμως κανείς να το αρχίσει ως εξής:
Στο σύνολο \mathbb{R} των πραγματικών αριθμών ορίζουμε τη σχέση ισοδυναμίας x\sim y εάν και μόνο εάν η διαφορά x-y είναι ακέραιος.
Βρείτε και διατυπώστε οποιαδήποτε σκέψη πάνω στο θέμα αυτό

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2007, 19:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
H (\mathbb{Z} ,+) είναι κανονική υποομάδα της (\mathbb{R} , +), αφού \forall x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{Z} ισχύει x + n + (-x) = n. Μπορούμε λοιπόν να κατασκευάσουμε το πηλίκο

(Πάντως μου φαίνεται παράξενο να λέω ένα πράγμα που έχει \mathbb{R} "ομάδα" :) )

Ερώτηση: Το σύνολο \mathbb{R} είναι υπεραριθμήσιμο, γίνεται [(\mathbb{R} ,+):(\mathbb{Z} ,+)] < \infty :?:

(Νομίζω όχι)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2007, 19:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Απρ 2006, 17:11
Δημοσ.: 146
Mε σκοπό να βρούμε πληροφορίες για αυτή την ομάδα, ας υπολογίσουμε την

υποομάδα στρέψης της (δηλ. τα στοιχεία πεπερασμένης τάξης)

Τ(\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}})=\{ x+\mathbb{Z}/ \exists n\in \mathbb{Z}-\{ 0\}, n(x+\mathbb{Z}) = 0+\mathbb{Z} \} =

\{ x+\mathbb{Z}/ \exists n\in \mathbb{Z}-\{ 0\}, nx\in \mathbb{Z} \}= \{ x+\mathbb{Z}/ x\in \mathbb{Q} \} = \frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2007, 20:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
anna έγραψε:
Mε σκοπό να βρούμε πληροφορίες για αυτή την ομάδα, ασ υπολογίσουμε την

υποομάδα στρέψης της (δηλ. τα στοιχεία πεπερασμένης τάξης)

Τ(\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}})={x+\mathbb{Z}/ \exists n\in \mathbb{Z}-\{ 0\}, n(x+\mathbb{Z}) = 0+\mathbb{Z} }


Μπορείς να δώσεις λίγες παραπάνω πληροφορίες για την υποομάδα στρέψης; Γιατί λέγεται έτσι;

Mόλις διάβασα στην wikipedia την παράγραφο για το πηλίκο (\mathbb{R} , +) /(\mathbb{Z} ,+).

Τώρα, όλες οι κλάσεις ισοδυναμίας στο \mathbb{R} παράγονται από τους αριθμους από το 0 ώς το ένα (ένα από τα δύο άκρα ανοικτό, το άλλο κλειστό). Συνεπώς έχουμε άπειρες κλάσεις ισοδυναμίας


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2007, 20:07 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
(\mathbb{R} , +) /(\mathbb{Z} ,+) = a + \mathbb{Z}, a \in [0,1)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2007, 20:18 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Απρ 2006, 17:11
Δημοσ.: 146
Γιώργος Παπαδημητρίου έγραψε:
Μπορείς να δώσεις λίγες παραπάνω πληροφορίες για την υποομάδα στρέψης; Γιατί λέγεται έτσι;


Η υποομάδα αυτή αποτελείται από όλα τα στοιχεία της (αβελιανής) ομάδας τα οποία έχουν πεπερασμένη τάξη. Ο αγγλικός όρος είναι torsion subgroup.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Ιαν 2007, 12:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Απρ 2006, 17:11
Δημοσ.: 146
H ομάδα \frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}} είναι ισόμορφη με την S^{1} = \{ z\in\mathbb{C} / |z|=1 \}.

Πράγματι, η απεικόνιση f: u+\mathbb{Z}\rightarrow e^{iu} είναι ισομορφισμός ομάδων (γιατί; )

Δηλαδή τα στοιχεία της \frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}} μπορούν

να θεωρηθούν ως σημεία του μοναδιαίου κύκλου και η πρόσθεση στην \frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}} γίνεται πολ/σμός στην S^{1}.

Διαισθητικά αυτό μπορεί να εξηγηθεί αν "περιτυλίξουμε" την πραγαματική ευθεία επί

του μοναδιαίου κύκλου έτσι ώστε όλοι οι ακέραιοι να συμπίμπτουν σε ένα σημείο του

κύκλου.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Ιαν 2007, 15:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3625
Τοποθεσια: Αθήνα
Αν τώρα G=\{ \alpha +\beta \cdot i , \alpha , \beta \in \mathbb{Z}\}, η ομάδα των ακεραίων του Gauss, τι μπορούμε να πούμε για την ομάδα-πηλίκο
\frac{(\mathbb{C} , +) }{G} ;;

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Ιαν 2007, 13:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Απρ 2006, 17:11
Δημοσ.: 146
Ας συμβολίσουμε με \mathbb{Z}[i] τους ακεραίους τους Gauss.

Kατ'αρχήν παρατηρούμε ότι \mathbb{C}\cong \frac{\mathbb{R}[x]}{< x^{2}+1 >}.

Πράγματι, εφαρμόζουμε το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών για την f(x)\rightarrow f(i).

Παρόμοια δείχνουμε ότι \mathbb{Z}[i]\cong \frac{\mathbb{Z}[x]}{< x^{2}+1 >}.


Άρα \frac{\mathbb{C}}{Z[i]}\cong \frac{\frac{\mathbb{R}[x]}{< x^{2}+1 >}}{\frac{\mathbb{Z}[x]}{< x^{2}+1 >}} \cong \frac{\mathbb{R}[x]}{\mathbb{Z}[x]} (από το τρίτο θεώρημα ισομορφισμών)

Τέλος, \frac{\mathbb{R}[x]}{\mathbb{Z}[x]} \cong ( \frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}} )[x].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Ιαν 2007, 15:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3625
Τοποθεσια: Αθήνα
Προς Anna:
Θεώρησες το \mathbb{C} ως δακτύλιο και όχι ως ομάδα που είναι το ζητούμενο. Μην ξεχνας ότι για να ορίζεται το πηλίκο πρέπει να έχουμε ιδεώδες στην περίπτωση των δακτυλίων

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2007, 14:09 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3625
Τοποθεσια: Αθήνα
Έχουμε λοιπόν
\frac{ (\mathbb{C} , + ) }{\mathbb{Z}[i] } \cong  \frac{ \mathbb{R} }{\mathbb{Z} } \oplus \frac{ \mathbb{R}i }{\mathbb{Z} i}\cong S^1 \oplus S^1


Ερώτημα: Γεωμετρικά με τι μοιάζει το S^1 \oplus S^1 ;;;

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2007, 14:41 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 31 Ιαν 2007, 14:37
Δημοσ.: 13
αν S^1 ειναι ο κυκλος τοτε το ''γινομενο'' μοιαζει με το λουκουμα?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 49 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3, 4  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group