forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Σεπ 2017, 22:43

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 49 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2007, 14:42 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 31 Ιαν 2007, 14:37
Δημοσ.: 13
αλλα τον ανοστο λουκουμα, χωρις το εσωτερικο?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2007, 15:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3624
Τοποθεσια: Αθήνα
Προς pedro
Μάλλον θα πεινάς ή θα ήθελες κάποιο γλυκό λουκουμά.

Πάρε επίσης ένα τερτράγωνο (ένα φύλλο χαρτί) και δίπλωσέ το μέχρι να γίνει λουκουμάς! Να περιγράψεις με αυστηρό μαθηματικό τρόπο τη διαδικασία
Τι άλλα "αντικείμενα" μπορούμε να κατασκευάσουμε με διπλώματα διαφορετικά;

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2007, 20:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
Iσχυει τελικα S^1xS^1=torus ? φαινεται σωστο


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2007, 23:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3624
Τοποθεσια: Αθήνα
Ναι ισχύει. Δώσε μια απόδειξη

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Φεβ 2007, 15:34 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
Αποδειξη για την ''ισοτητα'' αυτη δεν μπορω να σκεφτω. Αρχικα σκεφτηκα οτι ισως προκυπτει απ'το γεγονος οτι εχουν ισομορφες θεμελιωδης ομαδες, αλλα μαλλον το αντιστροφο συμβαινει, εχουν ισομορφες θεμελιωδεις ομαδες ακριβως επειδη ειναι ομοιομορφικα τα δυο αυτα αντικειμενα.

Οσο για τις κατασκευες με ενα τετραγωνο χαρτι νομιζω πως εχουμε τα εξης:
θεωρουμε το χαρτι τοποθετημενο στην αρχη των αξονων, δηλ. τα x και y απο 0 εως 1.

-Ταυτιζοντας την κατω ακμη με την πανω ακμη, και την αριστερα με τη δεξια, δηλ. (x,0)~(x,1) και (0,y)~(1,y) προκυπτει ο λουκουμας (torus)

-Ταυτιζοντας τα (x,0)~(1-x,0) δηλαδη γυρνωντας την κατω ακμη κατα 180 μοιρες και ταυτιζοντας την με την πανω, προκυπτει η λωριδα του Mobius.

-Τωρα, στην περιπτωση (x,0)~(1-x,1) και (0,y)~(1,y) εχουμε το ''Μπουκαλι του Klein"

-Τελος βρηκα στο Internet και μια τεταρτη περιπτωση (x,0)~(1-x,1) και (0,y)~(1,1-y) το Προβολικο Επιπεδο.

http://en.wikipedia.org/wiki/Real_projective_plane
http://en.wikipedia.org/wiki/Klein_bottle
http://en.wikipedia.org/wiki/Mobius_strip


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Ιαν 2008, 02:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
Τελικα στο αρχικο ερωτημα δεν εχουμε απαντησει.
Προχειρα (και λογω της ωρας) σκεφτηκα το εξης απλο, αφου G απειρη κυκλικη τοτε H=<g^n> για καποιο n \in N
Τωρα στην ομαδα G/Η εχουμε g^kH = g^{rn+u}H = g^uH για u \in {0,1,2,..,n-1}
Aρα ( ? ) [G:H] = n


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2008, 22:38 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 22 Δεκ 2007, 17:21
Δημοσ.: 27
Η άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με τη \mathbb Z, δεν εξήγησες όμως: Γιατί κάθε υποομάδα της είναι της μορφής n\mathbb Z για κάποιο n ;

Σχετικά με την ομάδα \mathbb C/(ακέραιοι του Gauss) : Δείξτε ότι είναι ισόμορφη, και μάλιστα ως ομάδα Lie (δηλαδή ομάδα που είναι και πραγματική πολλαπλότητα κατά τρόπο συμβατό με τα αξιώματα της ομάδας), με την ομάδα Ο_\alpha:=\mathbb C / (\mathbb Z +\mathbb Z\alpha) όπου α είναι οποιοσδήποτε μη πραγματικός μιγαδικός αριθμός.

Από την άλλη, οι ομάδες αυτές έχουν περισσότερη δομή, αυτήν της μιγαδικής πολλαπλότητας (προερχόμενη από την αντίστοιχη δομή του \mathbb C). Μπορείτε να βρείτε ποιες O_\alpha είναι ισόμορφες μεταξύ τους κατά τρόπο συμβατό με αυτήν τη δομή; Και γενικότερα, πότε υπάρχει ολόμορφος ομομορφισμός: O_\alpha\to O_\beta;

(Σημείωση: Οι ομάδες αυτές είναι ελλιπτικές καμπύλες πάνω απ' τους μιγαδικούς αριθμούς! Αν κάποιος θέλει να μάθει περισσότερα, μπορώ να γράψω γι' αυτό.)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Ιαν 2008, 01:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
Πολυβώτης έγραψε:
Η άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με τη \mathbb Z, δεν εξήγησες όμως: Γιατί κάθε υποομάδα της είναι της μορφής n\mathbb Z για κάποιο n ;


Eστω G=<g> η απειρη κυκλικη. Εστω H μια υποομαδα της, τοτε καθε στοιχειο της H θα ειναι της μορφης g^n για καποιο n \in Ν.
Eστω m ο μικροτερος φυσικος για τον οποιο g^m \in H. Τοτε για καθε n με g^n \in H εχουμε g^n=g^{ms+u} με u=0,1,2,...,m-1.
Aπο υποθεση επεται οτι u=0 και αρα g^n=g^{ms} και αρα Η περιεχεται στην <g^m>
O αντιστροφος εγκλεισμος προφανως ισχυει αφου αν g^m \in H τοτε και g^{ms} \in H.

Ακομα, απεικονιζοντας καθε <g^m> στο m επεται οτι καθε υποομαδα της \mathbb Z ειναι ισομορφη με την \mathbb Z

Γραψε κι αλλα για τις ομαδες που λες, ειναι ενδιαφερον. (οι ομαδες Lie δεν ειναι διαφορικες πολλαπλοτητες? ή ειναι το ιδιο με αυτο που εγραψες? )


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ομάδες Lie
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Ιαν 2008, 02:26 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 22 Δεκ 2007, 17:21
Δημοσ.: 27
Ναι, οι ομάδες Lie είναι «ομάδες στην κατηγορία των διαφορικών πολλαπλοτήτων». Λέγοντας αυτό εννοούμε πως όλοι οι ορισμοί της ομάδας πρέπει να δοθούν σε εκείνη την κατηγορία, π.χ. ο πολλαπλασιασμός G x G -> G δεν είναι απλώς μία σημείο-προς-σημείο πράξη, αλλά ένας μορφισμός (δηλ. C^\infty απεικόνιση) διαφορικών πολλαπλοτήτων, οι ομομορφισμοί πρέπει να είναι και αυτοί μορφισμοί πολλαπλοτήτων κτλ. (Στην πραγματικότητα, όλες οι ομάδες Lie, οι ομομορφισμοί μεταξύ τους κτλ είναι αυτομάτως \mathbb R-αναλυτικές, όχι απλώς C^\infty.) Άρα αυτό που ρωτάω παραπάνω είναι να δείξεις ότι υπάρχουν ισομορφισμοί μεταξύ των εν λόγω ομάδων που είναι ταυτοχρόνως διαφορομορφισμοί πολλαπλοτήτων.

Αυτό είναι το εύκολο κομμάτι. Μετά πάμε σε άλλη κατηγορία, αυτή των μιγαδικών πολλαπλοτήτων (στην περίπτωσή μας, μιγαδικών επιφανειών, με άλλα λόγια επιφανειών Riemann). Εδώ πρέπει όλες οι απεικονίσεις να είναι \mathbb C-αναλυτικές, που είναι πολύ ισχυρότερη συνθήκη. Για ποιες, λοιπόν, από τις παραπάνω ομάδες μπορείς να γράψεις (μη τετριμμένο) ολόμορφο ομομορφισμό: O_\alpha\to O_\beta; Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα α και β;

Τέλος, πάμε σε άλλη κατηγορία, αυτήν των αλβεγρικών μιγαδικών πολλαπλοτήτων, δηλαδή αυτών όπου όλες οι απεικονίσεις πρέπει να είναι πολυωνυμικές. Άμα προχωρήσει η κουβέντα, θα σου γράψω πού κολλάνε αυτές και ποια είναι η σχέση με ελλιπτικές καμπύλες.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Ιαν 2008, 02:29 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 22 Δεκ 2007, 17:21
Δημοσ.: 27
Ωπ, σόρρυ, «ελλειπτικές καμπύλες».


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Ιαν 2008, 12:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
Δεν εχω καμια επαφη με τις ομαδες Lie, και οι γνωσεις μου γυρω απο διαφορικη γεωμετρια και μιγαδικη αναλυση ειναι ιδιαιτερως περιορισμενες, οποτε περιμενουμε απο σενα να δωσεις τις λυσεις :D


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Φεβ 2008, 02:27 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 02:17
Δημοσ.: 19
Παιδιά πραγματικά μπράβο σας το επίπεδο σας είναι πολύ υψηλό είστε μόνο φοιτητές εδώ?Αν και φοιτήτρια μαθηματικού κ εγώ διαβάζοντας κάποιες λύσεις σας έχω μείνει με το στόμα ανοιχτό!Συνειδητοποιώ ότι τελικά δεν ξέρω τίποτα ακόμη(αν και τα πάω καλά με τα μαθήματα)! :(


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Φεβ 2008, 17:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Απρ 2006, 12:25
Δημοσ.: 566
Τοποθεσια: Halandri
hahahahah
μη ψαρωνεις ρε αλεκα!! Απλα τα παιδια που γραφουν εδω εχουν πιθανοτατα παρακολουθησει αρκετα μαθηματα αλγεβρας,οπως Θεωρια ομαδων,Μεταθετικη,Δακτυλιοι και προτυπα,κ.ο.κ. Επισης τα περισσοτερα ποστ ειανι απο μεγαλους σχετικα φοιτητες και οχι μονο απο προπτυχιακους...
Οπως και να χει παντως τα παραπανω δεν αναιρουν το γεγονος οτι το επιπεδο του φορουμ ειναι ικανοποιητικα υψηλο.

Εκτιμω οτι θα ανεβαινε κατακορυφα βεβαια αν 10 ακομη καθηγητες ακολουθουσαν το παραδειγμα του κ. Ραπτη τον οποια ειχα αδικησει τρομερα τα πρωτα ετη σχηματιζοντας κακη εντυπωση γι αυτον..
Ας μη ξεφευγω απο το θεμα ομως..pls continue with Algebra :D :D

_________________
Opoios kserei na xanei...xanei panta!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Φεβ 2008, 18:23 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3624
Τοποθεσια: Αθήνα
Προς Stefanos: Έλα από το γραφείο κάποια φορά να μου τα πεις.

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Φεβ 2008, 16:23 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Ιαν 2007, 15:29
Δημοσ.: 75
Τοποθεσια: Αθηνα
anna έγραψε:
Kατ'αρχήν παρατηρούμε ότι \mathbb{C}\cong \frac{\mathbb{R}[x]}{< x^{2}+1 >}.



Γιατι βαζεις το x^2+1 αναμεσα στα <> ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 49 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group