forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Σεπ 2017, 13:12

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 49 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Φεβ 2008, 16:37 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 15 Μαρ 2007, 12:37
Δημοσ.: 2388
Θεωριες τον επιμορφισμο f: R[Χ]->C, f(g(x))=f(i). kerf=<x^2+1> και απο 1ο Θεωρημα ομομορφισμων δακτυλιων παιρνεις το ζητουμενο. Τα <,> ειναι το ιδεωδες kerf.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Μιγαδικές ομάδες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Μαρ 2008, 23:01 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 22 Δεκ 2007, 17:21
Δημοσ.: 27
Γεια χαρά,

Πριν καιρό έθεσα ένα ερώτημα και μου ζητήθηκε να το απαντήσω, αλλά δεν μπόρεσα να ασχοληθώ μέχρι τώρα. Ελπίζω να το διαβάσει ακόμα κάποιος.

Το ερώτημα είχε να κάνει με τις ομάδες O_\alpha:= \mathbb C / (\mathbb Z + \alpha \mathbb Z) (όπου \alpha μιγαδικός, μη πραγματικός αριθμός). Το ερώτημα ήταν: Να δείξετε ότι είναι όλες ισόμορφες ώς ομάδες Lie αλλά και να βρείτε ποιες από αυτές είναι ισόμορφες ως μιγαδικές ομάδες. (Για εξηγήσεις βλ. σελίδα 2.)

Λοιπόν, το ερώτημα για τις ομάδες Lie είναι απλό, αρκεί να καταλάβει κανείς την έννοια της διαφορικής πολλαπλότητας, γι' αυτό θα απαντήσω εδώ το μιγαδικό ερώτημα. Κατ'αρχάς, να το διατυπώσουμε καλύτερα: Αφού η O_\alpha εξαρτάται μόνο από το πλέγμα \Lambda:=\mathbb Z + \alpha \mathbb Z, ας τη συμβολίσουμε με O_\Lambda. Θα δείξω ότι η O_\Lambda και η O_M είναι ισόμορφες ως μιγαδικές ομάδες αν και μόνο αν \Lambda=M, δηλαδή αν οι ομάδες ταυτίζονται. Επιπλέον, θα δείξω ότι υπάρχει μιγαδικός ομομορφισμός O_\Lambda\to O_M αν και μόνο αν a\Lambda\subset M για κάποιο a \in \mathbb C. (Για όσους μπερδεύονται από την έννοια του ισομορφισμού «μιγαδικών ομάδων», νομίζω ότι θα γίνει λίγο πιο σαφής αν διαβάσετε την απόδειξη.) Συνεχίζω στο επόμενο.


Τελευταία επεξεργασία απο Πολυβώτης την 31 Μαρ 2008, 23:55, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Μιγαδικές ομάδες (συνέχεια)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Μαρ 2008, 23:55 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 22 Δεκ 2007, 17:21
Δημοσ.: 27
Η απόδειξη μπλέκει ωραίες τοπολογικές ιδέες με άλγεβρα. Έστω ότι έχουμε ομομορφισμό O_\Lambda\to O_M. Θεωρούμε τις απεικονίσεις \mathbb C\to O_\Lambda, \mathbb C\to O_M, οι οποίες είναι μιγαδικοί ομομορφισμοί εξ' ορισμού. Το γεγονός τώρα είναι ότι υπάρχει (μοναδικός) μιγαδικός ομομορφισμός: \mathbb C\to\mathbb C τέτοιος ώστε η σύνθεση των: \mathbb C\to O_\Lambda\to O_M να ταυτίζεται με τη σύνθεση των: \mathbb C\to \mathbb C\to O_M. (Θα ήθελα να ζωγραφίσω ένα ωραίο αντιμεταθετικό τετράγωνο τώρα, αλλά δεν ξέρω πώς, μάλλον δεν υπάρχει η δυνατότητα . :o )

Γιατί; Αυτό βασίζεται στο γεγονός ότι το \mathbb C\to O_M είναι το καθολικό κάλυμμα (universal cover, δεν ξέρω αν το μετέφρασα σωστά) του O_M. Ως εκ τούτου (παρ'τε το ως ορισμό, αν θέλετε) για κάθε μιγαδική απεικόνιση \phi από απλά συνεκτική μιγαδική πολλαπλότητα V στο O_M (εδώ V=\mathbb C), υπάρχει μοναδικός τρόπος να «σηκώσουμε» την \phi στο \mathbb C, δηλ. \tilde\phi: V\to \mathbb C τέτοια ώστε η σύνθεση V\to \mathbb C\to O_M είναι το \phi.

Όχι, έτσι όπως το είπα είναι ανακριβές: Πρέπει να φιξάρουμε ένα σημείο του V και την εικόνα του στο \mathbb C. Εδώ, με V=\mathbb C, αν φιξάρουμε ότι το 0 πάει στο 0, παίρνουμε το ζητούμενο \mathbb C\to\mathbb C, και μπορεί κανείς εύκολα να δείξει ότι είναι ομομορφισμός.

Είχαμε αρχικά ένα πρόβλημα για τις ομάδες O_\Lambda, O_M και τώρα μπορούμε να το εξετάσουμε με τη βοήθεια των καθολικών τους καλυμμάτων, που είναι πολύ πιο απλά. Κατ' αρχάς ρωτάμε: α) Ποιοι είναι οι μιγαδικοί ομομορφισμοί (προσθετικής ομάδας) \mathbb C\to\mathbb C ; Ελέγξτε ότι όλοι αυτοί οι ομομορφισμοί είναι της μορφής z\mapsto az όπου a\in \mathbb C. Και β) ποιοι από αυτούς μπορεί να προήλθαν από την παραπάνω κατασκευή; Θα πρέπει (και αρκεί) ο πυρήνας του \mathbb C\to O_\Lambda να απεικονίζεται στον πυρήνα του \mathbb C\to O_M, δηλαδή a \Lambda\subset M.

Ενδιαφέρεται κανείς να γράψω ποια είναι η σχέση όλων αυτών με ελλειπτικές καμπύλες;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2008, 04:19 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
Στην αρχικη σελιδα ανεφερε η αννα οτι το πηλικο R/Z oυσιαστικα ειναι, ως ομαδα και ως τοπολογικος χωρος, ο κυκλος.
Για τυχαιο n, το πηλικο R^n/Z^n τι θα μπορουσε να ειναι; :D

_________________
Of Mice anf Jazz


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2008, 22:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Μήπως n τυχαίοι κύκλοι?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Νοέμ 2008, 19:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
εχουμε λοιπον, R^n/Z^n \approx (R/Z)^n \approx (S^1)^n,
δηλαδη οχι τυχαιους κυκλους αλλα το "γινομενο" τους, S^1 \times S^1 \times ... S^1
Στις 2 διαστασεις αποτελει το torus, και εχει ενδιαφερον να σκεφτουμε την διαδικασια των ταυτισεων που μας οδηγει σιγα σιγα απο το επιπεδο στον λουκουμα
Στις μεγαλυτερες διαστασεις δεν μπορουμε να εχουμε εποπτεια, το πηλικο λεγεται ν-διαστατο torus

Και μια ερωτηση με αφορμη την ερωτηση του σταθη, μπορουμε να εχουμε το πηλικο ενος συνεκτικου χωρου να μην ειναι συνεκτικος?

_________________
Of Mice anf Jazz


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Νοέμ 2008, 20:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Συνεχής εικόνα συνεκτικού δεν είναι συνεκτική?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Νοέμ 2008, 20:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
Σωστα, και το πηλικο μπορει να ειδωθει ως εικονα μιας συνεχης απεικονισης

_________________
Of Mice anf Jazz


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Νοέμ 2008, 20:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Βασικά έτσι του ορίζεις την τοπολογία πηλίκο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Νοέμ 2008, 10:06 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2007, 09:57
Δημοσ.: 433
Τοποθεσια: Γαλάτσι
zozef έγραψε:
Αποδειξη για την ''ισοτητα'' αυτη δεν μπορω να σκεφτω. Αρχικα σκεφτηκα οτι ισως προκυπτει απ'το γεγονος οτι εχουν ισομορφες θεμελιωδης ομαδες, αλλα μαλλον το αντιστροφο συμβαινει, εχουν ισομορφες θεμελιωδεις ομαδες ακριβως επειδη ειναι ομοιομορφικα τα δυο αυτα αντικειμενα.
-Τελος βρηκα στο Internet και μια τεταρτη περιπτωση (x,0)~(1-x,1) και (0,y)~(1,1-y) το Προβολικο Επιπεδο.


Νομίζω πως έχεις δίκιο για τις θεμελιώδεις ομάδες..Αποτελούν αρνητικό κριτήριο μόνο..Το καρτεσιανό γινόμενο S1xS1 μπορείς να το αποδείξεις και συνολοθεωρητικά να το αποδείξεις,ως περιστροφή κύκλου πάνω σε κύκλο.
Όσον αφορά το προβολικό επίπεδο εγώ το σκέφτομαι, όπως όταν στο φύλο χαρτί ταυτίζεις όλα τα άκρα του και δημιουργείς την σφαίρα..Και μετά από την σφαίρα ταυτίζεις κάθε φορά τα αντιδιαμετρικά του..Οπότε παίρνεις τον χώρο πηλίκο ενός χώρου πηλίκου.
Δεν είμαι πολύ βέβαιος,αλλά έλω να δω αν τα έμαθα σωστά..
Υσ.Αλέκα όπως λέει κι ο Στέφανος μην ψαρώνεις!Αντίθετα προσπάθησε αν θες να λάβεις κι εσύ μέρος στην συζήτηση!Θα σε βοηθήσει,και αν χρειαστείς θα σε βοηθήσουμε..
Το Μαθηματικό Αθηνών δεν έχει ύφος μπλαζέ..(ελπίζω.. :) )

_________________
Νιώθω σαν να χτυπάμε τα κεφάλια μας στα σίδερα. Πολλά κεφάλια θα σπάσουν. Μα κάποια στιγμή, θα σπάσουν και τα σίδερα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Δεκ 2008, 17:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
Για να δουμε κατι αλλο τωρα, αν εχουμε A,B,C τρεις ομαδες (ή τυχαια Ρ-προτυπα), λεμε οτι μια ακολουθια 0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0 ειναι (βραχεια) ακριβης αν για καθεναν απο τους 4 ομομορφισμους εχουμε οτι η εικονα του προηγουμενου ισουται με τον πυρινα του επομενου.

Για παραδειγμα η ακολουθια 0 \longrightarrow 2\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}_2 \longrightarrow 0
ειναι (βραχεια) ακριβης εχοντας απεικονισεις αντιστοιχα
0 \rightarrow 2\mathbb{Z} με 0\mapsto 0 (παρατηρουμε οτι αναγκαστικα η επομενη απεικονιση πρεπει να ειναι 1-1)
2\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Z} με 2n \mapsto 2n (ειναι οντως 1-1)
\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_2 με n \mapsto [n]
\mathbb{Z}_2 \rightarrow 0 με {0,1} \mapsto 0 (παρατηρουμε οτι αναγκαστικα η προηγουμενη απεικονισει πρεπει να ειναι επι)
Οντως ικανοποιειται η προυποθεση μας για ισοτητα kerg_i=img_{i-1}

Τωρα, ας θεωρησουμε μια τυχαια ομαδα με παρασταση G=<X|R> (θυμιζουμε οτι στην παρασταση μιας ομαδας, X ειναι ενα συνολο γεννητορων της και R ειναι οι λεξεις που ειναι τετριμμενες στην ομαδα, για παραδειγμα \mathbb{Z}^2=<a,b| aba^{-1}b^{-1}>)

Με βαση τα προηγουμενα βρειτε για καθε ομαδα G μια βραχεια ακριβη ακολουθια 0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow G \longrightarrow 0

_________________
Of Mice anf Jazz


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Δεκ 2008, 18:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Τα A και B δε χρειάζεται να μας πεις τι είναι?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Δεκ 2008, 13:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Απρ 2006, 10:23
Δημοσ.: 357
zozef έγραψε:
Με βαση τα προηγουμενα βρειτε για καθε ομαδα G μια βραχεια ακριβη ακολουθια 0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow G \longrightarrow 0


Ας γράψω μια σαχλαμαρίτσα. Έστω Α μια ομάδα Θεωρούμε την ακολουθία

0 \longrightarrow A \longrightarrow A\times G \longrightarrow G \longrightarrow 0

με απεικονίσεις την εμφύτευση και μετά την προβολή στην πρώτη συντεταγμένη.

_________________
It is not the position you stand, but the direction in which you look.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Δεκ 2008, 14:09 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Απρ 2006, 10:23
Δημοσ.: 357
Βιάστηκα να απαντήσω. Τώρα κατάλαβα που θες να καταλήξεις!

Κάθε ομάδα είναι πηλίκο μιας ελεύθερης.

_________________
It is not the position you stand, but the direction in which you look.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: μια ιδιότητα της άπειρης κυκλικής ομάδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Δεκ 2008, 15:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
Χεεχε αν και η πρωτη απαντηση σου ειναι σωστη, στην δευτερη ηθελα να καταληξω!

Αν Χ ειναι ενα συνολο γεννητορων, F_x η ελευθερη ομαδα σε #Χ γεννητορες, και <R> η ομαδα που παραγεται απο τις τετριμμενες λεξεις στην G τοτε εχουμε μια βραχεια ακριβη ακολουθια

0 \longrightarrow <R> \longrightarrow F_x \longrightarrow G\longrightarrow 0

Ισως ειναι ευκαιρια να παρατηρησουμε και οτι η παρασταση μιας ομαδας δεν ειναι μοναδικη, μπορει δηλαδη η ιδια ομαδα να παρεισταται με διαφορετικο το πληθος γεννητορες, ενα πολυ απλο παραδειγμα Ζ=<α| > =<α,β|β>
Γενικα, κανοντας Tietze transformations μπορουμε να λαμβανουμε ισομορφες παραστασεις της ιδιας ομαδας.
Γιατι, ενω η F_x που ορισαμε στην ακολουθια μας αλλαζει παιρνοντας διαφορετικη παρασταση, η G δεν αλλαζει;
Μπορουμε απο αυτο το γεγονος να παρατηρησουμε οτι καθε (πεπερασμενα γεννομενη)ελευθερη ομαδα ειναι υποομαδα της F_2;

_________________
Of Mice anf Jazz


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 49 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group