forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Δεκ 2018, 16:29

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 20 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Οκτ 2009, 18:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3630
Τοποθεσια: Αθήνα
Αντί άλλης απάντησης σε αυτά που γράφονται στο σημείο εδώ σας δίνω μία λύση με λεπτομέρειες στο πρώτο θέμα της εξέτασης Σεπτεμβρίου 2009 στο μάθημα Βασική άλγεβρα
Θα ακολουθήσουν και λύσεις στα επόμενα θέματα.
==============================================

Αποφάσισα να γράψω τα θέματα της εξέτασης και να τα λύσω με εξαντλητικές λεπτομέρειες. Ίσως είναι καλύτερα έτσι για τη συζήτηση (αν βέβαια κανείς θέλει να κάνει ουσιαστική συζήτηση). Μόνο που αυτό θα γίνει τμηματικά λόγω χρόνου. Αν εν τω μεταξύ κάποιος έχει χρόνο και θέλει μπορεί να γράψει τη δική του λύση
=======================================================
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Θέμα 1 (2,5 μονάδες)

Έστω \alpha , \beta \in \mathbb{Z} δύο μη-μηδενικοί ακέραιοι και I\subseteq \mathbb{Z} το σύνολο που ορίζεται θέτοντας

I=\{\alpha \cdot x+ \beta \cdot y \mid x,y \in \mathbb{Z} \}


(i): Ομάδα Α Δείξτε ότι το Ι είναι ιδεώδες του \mathbb{Z}
(i): Ομάδα Β Δείξτε ότι το Ι είναι ιδεώδες του\mathbb{Z}
==============
(ii): Ομάδα Α Δείξτε ότι το Ι είτε περιέχει όλους τους πρώτους αριθμούς, είτε περιέχει μόνο ένα πρώτο αριθμό, είτε δεν περιέχει πρώτο αριθμό
(ii): Ομάδα B Δείξτε ότι το Ι είτε περιέχει όλους τους πρώτους αριθμούς, είτε περιέχει μόνο ένα πρώτο αριθμό, είτε δεν περιέχει πρώτο αριθμό
=======================
(iii): Ομάδα Α Σε ποιές από τις τρείς περιπτώσεις που αναφέρονται στο (ii) είναι ο δακτύλιος-πηλίκο \mathbb{Z}/I ακέραια περιοχή?
(iii): Ομάδα Β Σε ποιές από τις τρείς περιπτώσεις που αναφέρονται στο (ii) είναι ο δακτύλιος-πηλίκο \mathbb{Z}/I σώμα?
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Απαντήσεις:
Για να αποδείξει κανείς ότι το Ι είναι ιδεώδες αρκεί να ελέγξει τις τρείς απαιτήσεις για να είναι ένα υποσύνολο ενός δακτυλίου ιδεώδες.

Σημείωση: Ας κάνει κανείς από μόνος του εδώ στο ΦΟΡΟΥΜ την απόδειξη ότι πράγματι το Ι είναι ιδεώδες


Έστω δ ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης των ακεραίων α και β, δηλαδή δ=ΜΚΔ(α,β). Υπάρχουν οι παρακάτω τρείς περιπτώσεις
1)δ=1,
2) δ σύνθετος ακέραιος αριθμός δηλαδή δ=\delta_1 \cdot \delta_2 με \delta_1 >1, \delta_2 >1
3) δ πρώτος αριθμός

Γνωρίζουμε από τα μαθήματα ότι σε οποιαδήποτε περίπτωση ο ΜΚΔ γράφεται ως "ακέραιος" συνδυασμός των α και β, δηλαδή ότι υπαρχουν ακέραιοι κ και λ με \kappa \cdot \alpha +\lambda \cdot \beta =1

Εξετάζουμε τώρα τι γίνεται σε κάθε μία από τις περιπτώσεις παραπάνω:
1) Έχουμε προφανώς ότι I\subseteq \mathbb{Z}. Έστω τώρα ν κάποιος ακέραιος. Επειδή \kappa \cdot \alpha +\lambda \cdot \beta =1 έχουμε \nu \cdot (\kappa \cdot \alpha +\lambda \cdot \beta )=\nu \cdot 1= \nu. Έτσι βρίσκουμε ότι \mathbb{Z} \subseteq  I. Τελικά \mathbb{Z} = I, άρα το Ι περιέχει όλους τους πρώτους, αφού περιέχει όλους τους ακεραίους.

2) Έστω ότι δ σύνθετος αριθμός δηλαδή δ=\delta_1 \cdot \delta_2 με \delta_1 >1, \delta_2 >1. Αν
I=\{\alpha \cdot x+ \beta \cdot y \mid x,y \in \mathbb{Z} \} κάποιο στοιχείο στην περίπτωση αυτή, τότε το \delta_1 διαιρεί κάθε στοιχείο του Ι, ομοίως και κάθε στοιχείο του Ι διαιρείται με τον ακέραιο \delta_2
Τελικά κάθε στοιχείο του Ι στην περίπτωση αυτή είναι σύνθετος αριθμός, άρα δεν υπάρχει κάποιος πρώτος στο Ι
3) Στην περίπτωση 3) αν δηλαδή ο ΜΚΔ(α,β)=δ, όπου δ πρώτος αριθμός, τότε όπως γνωρίζουμε υπαρχουν ακέραιοι κ και λ με \kappa \cdot \alpha +\lambda \cdot \beta =\delta. Κάθε στοιχείο του Ι στην περίπτωση αυτή διαιρείται με το δ, άρα είναι σύνθετος εκτός εάν το πηλίκο του τυχαίου αυτού στοιχείου του Ι με το δ είναι +1 ή -1. Φανερό είναι ότι στην περίπτωση αυτή το Ι έχει μόνο ένα πρώτο, τον δ


Τώρα σε κάθε περίπτωση έχουμε ότι \mathbb{Z}/I\cong \mathbb{Z}_{\delta}, οπότε έχουμε
1) Αν δ=1 ισχύει \mathbb{Z} / I \cong \mathbb{Z}_{\delta} \cong \mathbb{Z}/ \mathbb{Z} \cong 0, είναι δηλαδή ο μηδενικός δακτύλιος και επομένως δεν είναι ούτε ακεραία περιοχή ούτε σώμα
2)Αν δ= σύνθετος αριθμός, τότε \mathbb{Z}/I \cong \mathbb{Z}_{\delta} οπότε στην περίπτωση αυτή ο δακτύλιος πηλίκο δεν είναι ούτε ακεραία περιοχή ούτε σώμα, όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία
3) Αν δ=πρώτος αριθμός θα έχουμε \mathbb{Z}/I \cong \mathbb{Z}_{\delta} οπότε στην περίπτωση αυτή ο δακτύλιος πηλίκο είναι και ακεραία περιοχή και σώμα, όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Οκτ 2009, 15:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 31 Οκτ 2007, 17:31
Δημοσ.: 124
Τοποθεσια: Kifisia
Κυριε Ραπτη στη συζητηση περι θεματων που εκλεισε λετε ξανα κ ξανα οτι μας προσφερατε τη λυση του πρωτου θεματος.
πολλοι κ αναμεσα τους εγω,αναμενουμε τις λυσεις των αλλων θεματων ομως,γιατι αυτο ηταν το μονο που υπηρχε στις σημειωσεις των μεταπτυχιακων.
πραγματικα δεν καταλαβαινω τη λογικη σας.
κ εγω τουλαχιστον περιμενω τις λυσεις των υπολοιπων καθως κ αν αυτες εχουν διδαχτει ποτε....εστω παρομοιες.

_________________
Ο Μ.Γκαντι ειχε πει πως καταστροφη ειναι η επιστημη χωρις ανθρωπια...
ΖΟΥΜΕ ΜΙΑ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗ στο μαθηματικο της Αθηνας...ξεκαθαρα...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Οκτ 2009, 16:06 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 08 Οκτ 2009, 14:13
Δημοσ.: 4
carpediem έγραψε:
Κυριε Ραπτη στη συζητηση περι θεματων που εκλεισε λετε ξανα κ ξανα οτι μας προσφερατε τη λυση του πρωτου θεματος.
πολλοι κ αναμεσα τους εγω,αναμενουμε τις λυσεις των αλλων θεματων ομως,γιατι αυτο ηταν το μονο που υπηρχε στις σημειωσεις των μεταπτυχιακων.
πραγματικα δεν καταλαβαινω τη λογικη σας.
κ εγω τουλαχιστον περιμενω τις λυσεις των υπολοιπων καθως κ αν αυτες εχουν διδαχτει ποτε....εστω παρομοιες.


Ελα ρε συ τι περιμενες να κανει?!!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Οκτ 2009, 16:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3630
Τοποθεσια: Αθήνα
Προφανώς και θα δημοσιεύσω λύσεις και των άλλων θεμάτων προσεχώς παρά το γεγονός ότι σχεδόν όλοι είπατε ότι δεν θέλετε γιατί δεν είναι αυτό το θέμα

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Οκτ 2009, 17:09 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2009, 11:50
Δημοσ.: 298
Οι λύσεις των θεμάτων πρέπει να δημοσιεύονται σε όλα τα μαθήματα. Έτσι όχι μόνο θα μαθαίνουν τα λάθη τους οι φοιτητές αλλά θα έρχονται και λιγότεροι για αναβαθμολόγηση. Το θέμα είναι ότι δεν πρέπει να παρακαλάμε κάθε φορά για να γίνεται αυτό αλλά να γίνει πάγια τακτική.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Οκτ 2009, 18:07 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3630
Τοποθεσια: Αθήνα
Προς mandy_608:

Η λύσεις των θεμάτων από έναν καθηγητή ενισχύει στις συνειδήσεις των φοιτητών το ρόλο της αυθεντίας πάρα πολύ σε σημείο που αποτρέπει τον εξεταζόμενο έστω και εκ των υστέρων να ψάξει μόνος του να βρεί λύσεις-απαντήσεις στα θέματα(ενδεχομένως κομψότερες και καλύτερες). Αν ένας από τους στόχους στο Πανεπιστήμιο είναι να γίνουν οι φοιτητές καλύτεροι από τους καθηγητές τους, αυτό επιτυγχάνεται μέσα από την αμφισβήτηση της αυθεντίας και την παρουσία των διδασκόντων ως μοναδική πηγή γνώσης. Αυτό όμως συνεπάγεται προσπάθεια επίλυσης από τους φοιτητές.

ΥΓ Παρά όλα τα παραπάνω, λύσεις των θεμάτων θα παρουσιασθούν.

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Οκτ 2009, 19:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2009, 11:50
Δημοσ.: 298
Προς κ.Ράπτη :

Στα μαθήματα του κ.Γιαννόπουλου από την αρχή μέχρι το τέλος του εξαμήνου δίνονται ασκήσεις μαζί με τις λύσεις για να τις μελετήσουμε. Εγώ προσωπικά αν δεν δω αρκετές ασκήσεις λυμένες δεν μπορώ να "πάρω" μπρος μόνο με τη θεωρία και να τις λύσω μόνη μου. Αφού διαβάσω τη θεωρία και μετά τις λυμένες ασκήσεις τότε μπορώ να πιάσω να λύσω κάποιες άλυτες. Πιστεύω αυτό συμβαίνει και με σχεδόν όλα τα παιδιά που ξέρω.

Κανένας δεν βρέθηκε να πει ότι ο κ.Γιαννόπουλος είναι αυθεντία (που είναι δηλαδή) και ότι οι φοιτητές υστερούν απέναντί του. Διαβάζουμε τις ασκήσεις που κάνει και έτσι αρχίζουμε να καταλαβαίνουμε μπαίνουμε σε ένα δρόμο και προχωράμε στο στο μάθημα.

Αυτές οι ασκήσεις που βάλατε στην άλγεβρα όπως λένε τα παιδιά (και έχω τρομοκρατηθεί γιατί το δίνω για πρώτη φορά φέτος τον Ιανουάριο ) δεν έμοιαζαν με ασκήσεις που έγιναν στην τάξη και για το λόγο αυτό υπήρχε μεγάλη αποτυχία (όπως σχεδόν πάντα συμβαίνει όταν τα θέματα είναι τέτοιου είδους).

Καταλαβαίνω ότι πρέπει να ψάχνουμε και μόνοι μας τα μαθηματικά και πιστέψτε με ότι πολλοί το κάνουμε, αλλά όταν υπάρχει τεράστιο εύρος ασκήσεων χανόμαστε και τελικά αποτυγχάνουμε στις εξετάσεις αν δεν έχουμε ποτέ δει παρόμοια πράγματα. Το βλέπετε και μόνος σας. Δεν είναι κατάσταση αυτή να περνούν 30 με τους 25 μετά βιας να έχουν πιάσει τη βάση. Και τώρα υπάρχει και χρονικό όριο σπουδών. Μπορεί να λέτε ότι τα μαθηματικά είναι γιορτή και είναι αλλά όταν έχουμε deadlines δεν είναι δυνατόν να δίνουμε μερικά μαθήματα τόσες πολλές φορές για να τα περασουμε γιατί δεν θα προλάβουμε και θα βρεθούμε εκτός σχολής. Δεν συνεχίζω γιατί ηδη είμαι off topic


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Οκτ 2009, 19:13 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 21 Μαρ 2008, 16:26
Δημοσ.: 227
Παράθεση:
mandy_608

Και τώρα υπάρχει και χρονικό όριο σπουδών. Μπορεί να λέτε ότι τα μαθηματικά είναι γιορτή και είναι αλλά όταν έχουμε deadlines δεν είναι δυνατόν να δίνουμε μερικά μαθήματα τόσες πολλές φορές για να τα περασουμε γιατί δεν θα προλάβουμε και θα βρεθούμε εκτός σχολής.


βασικά αυτό ειναι άκυρο.... Αν δεν εχεις διαβασει δεν μπορεις να περασεις ενα μαθημα επειδη εχουμε deadlines.... :wink:

To ερωτημα ειναι ενα: οι καθηγητες δεν απορουν μηπως (που σιγουρα ειτε απο βαθμολογιες ειτε απο μη μεταδοτικοτητα του μαθηματος) ευθυνονται εκεινοι για την τοοοοοοσο μεγαλη αποτυχια????

ειναι δυνατον ενα μαθημα που το παρακολουθουν εκατονταδες φοιτητες να το περνανε τοσο λιγοι???


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Οκτ 2009, 19:16 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2009, 11:50
Δημοσ.: 298
Δεν είναι άκυρο. Μπορεί να μου αρέσει να διαβάζω ένα μάθημα και να διαβάζω και επιπλέον πράγματα από αυτά που γινονται στην ταξη. Αυτό όμως μπορεί να με οδηγήσει σε εκτός κλιματος εξετάσεων πράγματα και να χάσω το μάθημα. ΚΑι ναι μεν μπορεί να μου αρέσει αλλά αν δινω 3 και 4 φορές καποιο μάθημα μεχρι να καλυψω ολα αυτά που δεν γίνονται στην τάξη πότε θα διαβάσω να περάσω τα άλλα. Εξου και τα deadlines. Δεν συνεζίζω γιατί είναι εκτός θέματος. Ο κ.Ράπτης νομίζω κατάλαβε το σκεπτικό. Το ζήτημα είναι τι θα γίνει από εδώ και πέρα γιατί τα ίδια σκηνικά επαναλαμβάνονται με ατελείωτες συζητήσεις στο φορουμ όπως είδα και σε άλλα εξάμηνα και στο τέλος μια από τα ιδια


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Οκτ 2009, 19:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3630
Τοποθεσια: Αθήνα
Προς mandy_608:

Νομίζω ότι καταλαβαίνω αυτά που λες και έτσι θα γράψω απαντήσεις στα θέματα που ζήτησες. Δεν συμφωνώ όμως με την άποψή σου . Άλλωστε το ερώτημα "τι σημαίνει ότι μαθαίνω κάτι" είναι λίγο πολύ αναπάντητο. Πιστεύω όμως ότι πρέπει να μας απασχολήσει όλους

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Οκτ 2009, 19:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2009, 11:50
Δημοσ.: 298
To ξέρω ότι δεν συμφωνείτε, γι αυτό υπάρχει και τόσο μεγάλη αποτυχία. Αν συμφωνούσατε ίσως τα πράγματα να ήταν καλύτερα. Στους απειροστικούς είναι απαντημένο το τι σημαίνει μαθαίνω-δινω περνάω. Στις άλγεβρες όχι.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Οκτ 2009, 20:39 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2009, 11:50
Δημοσ.: 298
Τέλος μια παρένθεση για το τι σημαίνει μαθαίνω μπορείτε να τη δειτε εδώ

http://en.wikipedia.org/wiki/Learn

Και συγκεκριμενα

Learning is acquiring new knowledge, behaviors, skills, values, preferences or understanding, and may involve synthesizing different types of information. The ability to learn is possessed by humans, animals and some machines. Progress over time tends to follow learning curves. ( Όπως αυτή που σας περιέγραψα για τους απειροστικούς)

Human learning may occur as part of education or personal development. It may be goal-oriented and may be aided by motivation. The study of how learning occurs is part of neuropsychology, educational psychology, learning theory, and pedagogy. ( Οπως σας είπα βλέπουμε θεωρία και ασκήσεις=education με στόχο(goal) να δουμε πως λειτουργούν τα πραγματα και μετά αφού αγαπάμε τα μαθηματικά (motivation) προσπαθούμε να λύσουμε άλλες. Εσείς αφήνετε το education στην άκρη αφού λύνετε ελάχιστες παρόμοιες με αυτες που βάζετε και περιμένετε από εμάς να τα λύνουμε πράγματα χωρίς να έχουμε δει παρόμοια. Και αυτή την ικανότητα την έχουν μόνο όσοι ακολουθούν διδακτορικά γιατί αλλιώς θα ακολουθούσαμε όλοι

Με λίγα λόγια σπάτε την καμπύλη μάθησης και περιμένετε μεγάλα νοητικά άλματα που βλέπετε ότι ελάχιστοι μπορούν να κάνουν (εξου και τα αποτελέσματα των εξετάσεων). Επιλέγετε δηλαδή nα περνούν μόνο όσοι μπορούν να λύσουν πράγματα που δεν έχουν δει και για τους υπολοίπους έχετε αναπτύξει τη θεωρία των δύο ταχυτήτων και του κατώτερου πτυχίου όπως συχνά λέτε.Το πτυχίο δύο ταχυτήτων δεν υπάρχει στην πραγματικότητα παρόλα αυτά με τις παραπάνω τακτικές στερείτε το πτυχίο από όσους δεν περνάνε το μάθημα. Διορθώστε με αν κανω λάθος αλλά τέτοια αποτυχία στην άλγεβρα δεν συνεβαινε παλιοτερα που παιρνούσαν άρα πολλοι γιατί το μάθημα γινόταν με διαφορετικό τρόπο, παρόμοιο με αυτό που σας περιέγραψα. Εξάλλου πολλά παιδιά που ξέρω μου είπαν ότι παλιότερα παιρνιώταν το μάθημα ενώ τώρα είναι πολύ δύσκολο έτσι όπως διδάσκεται-εξεταζεται.

Δεν μιλάω για εσάς προσωπικά αλλά γενικά για την ομάδα διδασκαλίας μιας και με αυτή την ομάδα έτσι δείχνουν να έχουν τα πράγματα. Με κάποια προηγούμενη περνούσαν περισσότεροι το μάθημα. Μήπως λοιπόν το ότι δεν συμφωνείτε με αυτή την άποψη είναι μια από τις κύριες πηγές του προβλήματος και μήπως θα έπρεπε να αλλάξετε άποψη μετά από τα αποτελέσματα των εξετάσεων που επιφέρει αυτός ο τρόπος διδασκαλίας και εκαίδευσης. Γιατί έχετε να κάνετε με ανθρώπους που έχουν όνειρα που αυτός ο τρόπος σκέψης που έχετε τους τα καταστρέφει.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Οκτ 2009, 13:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 27 Σεπ 2007, 13:25
Δημοσ.: 838
Τοποθεσια: πειραιάς
Κ.Ράπτη πότε να αναμένουμε(πάνω κάτω)τις λύσεις και των άλλων θεμάτων?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2010, 14:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 30 Μάιος 2006, 18:52
Δημοσ.: 1754
Τοποθεσια: Ν.Σμύρνη
Εχουμε φτασει ενα μηνα πριν τις εξετασεις και ΑΚΟΜΑ δεν εχουμε τις λυσεις του Σεπτεμβριου;Μπορει καποιος καλος ανθρωπος να βοηθησει;;;;;;;
Τι περιμενουν οι κυριοι καθηγητες;;Να κοπει παλι το 80% και μετα να μας λενε φιλοσοφιες στο φορουμ;;
Βοηθηστε μια φορα εκ των προτερων...

_________________
Μην ξεχνάτε...στην νέα τάξη πραγμάτων,τα πράγματα είμαστε εμείς...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Λύσεις των θεμάτων των εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2009
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2010, 15:13 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3630
Τοποθεσια: Αθήνα
Οι λύσεις και οι ιδέες για τη λύση των Θεμάτων έχουν διαπραγματευθεί στην Ηλεκτρονική τάξη
Επίσης σε συναντήσεις στο γραφείο μου όποιος ήλθε( και ήλθαν πολλοί) έδωσα συνοπτικές λύσεις των θεμάτων, που έγιναν αφορμή για μεγαλύτερη εμβάθυνση στη Βασική άλγεβρα
Προς giorgos83: Τι εννοείς βοήθεια εκ των προτέρων; Λύσεις θεμάτων που δεν πρόκειται βέβαια να ξαναπέσουν; Λύσεις ασκήσεων θα βρείς πάρα πολλές

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 20 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group