forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 14 Δεκ 2018, 17:28

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ταξη στοιχείου ομαδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Απρ 2016, 16:34 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 26 Σεπ 2014, 12:10
Δημοσ.: 30
Να ρωτησω κατι, σε μια άσκηση αναφέρει οτι η τάξη του [3] στοιχειο του Z12 είναι 4. Πως προκύπτει αυτό αφού [3]^4=[9]; η τάξη στοιχείου δεν ορίζεται ως ο αριθμός εκείνος στον οποίο όταν υψωθεί το στοιχειο μου δίνει το ουδέτερο στοιχειο της ομάδας;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ταξη στοιχείου ομαδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Απρ 2016, 17:01 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 14 Φεβ 2013, 13:18
Δημοσ.: 21
ebee έγραψε:
Να ρωτησω κατι, σε μια άσκηση αναφέρει οτι η τάξη του [3] στοιχειο του Z12 είναι 4. Πως προκύπτει αυτό αφού [3]^4=[9]; η τάξη στοιχείου δεν ορίζεται ως ο αριθμός εκείνος στον οποίο όταν υψωθεί το στοιχειο μου δίνει το ουδέτερο στοιχειο της ομάδας;

Η ομάδα σου είναι προσθετική με ουδέτερο στοιχείο προφανώς το μηδέν. Αυτο που λες εσυ είναι ο ορισμός της τάξης στοιχείου Όταν έχεις πολλαπλασιαστική ομάδα. Στο παράδειγμα σου η τάξη του 3 Είναι 4 Αφού 3+3+3+3=12=1 στο Ζ12.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ταξη στοιχείου ομαδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Απρ 2016, 17:16 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 26 Σεπ 2014, 12:10
Δημοσ.: 30
Το 12 γιατί ισούται με 1 και όχι με 0;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ταξη στοιχείου ομαδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Απρ 2016, 18:31 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 52
Έστω G μια ομάδα με πράξη \cdot και ουδέτερο στοιχείο το 1 και έστω g \in G. Τάξη του g ορίζεται να είναι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος n για τον οποίο ισχύει ότι g^{n} = g\cdot g \cdots g = 1. Αν δεν υπάρχει τέτοιος θετικός ακέραιος, τότε λέμε ότι η τάξη του στοιχείου g είναι άπειρη.

Στο παράδειγμά σου τώρα, η ομάδα είναι η \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, η πράξη είναι η πρόσθεση + και το ουδέτερο στοιχείο είναι το 0. Οπότε το σύμβολο 3^{4} δε σημαίνει 3\cdot3\cdot3\cdot3, αλλά 3+3+3+3, το οποίο είναι ίσο με 12, το οποίο είναι ίσο με το 0. (Βέβαια με το παραπάνω ορισμό που δόσαμε και χωρίς να έχουμε δει τίποτα άλλο, για να αποφανθούμε ότι η τάξη του 3 στην \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} είναι 4, πρέπει να υπολογίσουμε τα 3^{3},3^{2} και να δούμε ότι δεν είναι ίσα με 0.)

Ποιό (ή ποιά) άλλο στοιχείο της \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} έχει τάξη 4;

Βέβαια, (αν δε το έχεις δει ακόμα) υπάρχει τύπος που δίνει τη τάξη κάθε στοιχείου σε μια κυκλική ομάδα, δηλαδή :
Έστω G πεπερασμένη ομάδα τάξης n και x ένας γεννήτορας αυτής. Τότε |x^{a}| = \frac{n}{(n,a)}, όπου με |\cdot | συμβολίζουμε τη τάξη του στοιχείου και (\cdot,\cdot) τον μέγιστο κοινό διαιρέτη.

Στο προηγούμενο παράδειγμα, ο γεννήτορας είναι το 1 και το 3 γράφεται ώς 1^{3} με τον "πολλαπλασιαστικό" συμβολισμό, (άκομψα γραμμένο, αλλά αληθές, γι αυτό συνήθως στις αβελιανές ομάδες χρησιμοποιούμε τον "προσθετικό" συμβολισμό). Επομένως, σύμφωνα με το τύπο η τάξη του 3 είναι 4.

Για εξάσκηση βρες όλες τις τάξεις των στοιχείων της \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} και της \mathbb{Z}/48\mathbb{Z}. Ποιά άλλα στοιχεία εκτός από το 1 θα είναι γεννήτορες των παραπάνω ομάδων;

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ταξη στοιχείου ομαδας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Απρ 2016, 18:59 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 26 Σεπ 2014, 12:10
Δημοσ.: 30
Το κατάλαβα. Σ ευχαριστώ πααρα πολύ. Δεν προσεξα οτι πρόκειται για προσθετική ομάδα κ όχι για πολλαπλασιαστική και οτι το ουδέτερο στοιχειο της προσθετικης είναι το μηδέν και της πολλαπλασιαστικης το 1. Ευχαριστω !!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group