forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Δεκ 2018, 17:38

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκησεις-Αποριες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Ιαν 2008, 14:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Απρ 2006, 12:25
Δημοσ.: 566
Τοποθεσια: Halandri
Επειδη εχασα φετος ολα τα Μαθηματα του κ.Μαλιακα δεν εχω δει καποια κομματια της θεωριας που εκανε και καποιες ασκησεις δε μπορω ουτε καν να τις παλεψω..Θα εκτιμουσα λιγη βοηθεια..αν καποιος εχει δουλεψει τις ασκησεις.THX :)

1.Ασκηση 2 και 4 απο 3ο φυλλαδιο

(1)f,g:Z^3-Z^2 ομομορφισμοι με αντιστοιχους πνκ

[1 3
12 48
20 80]

[4 2
6 4
6 4]
Εξεταστε αν τα Ζ-προτυπα Ζ^2/imf kai Z^2/Img ειναι ισομορφα.


(2)Στην διατυπωση της κανονικης μορφης Smith υπαρχει η υποθεση οτι ο R ειανι ΠΚΙ.Το ακολουθο παραδειγμα δειχνει οτι η υποθεση αυτη ειανι απαραιτητη.Αποδειξτε οτι ο πινακας A
(2x 0
x 2)

απο τους 2χ2 πινακες με στοιχεια απο το Ζ[χ] δεν ειανι ισοδυναμος με διαγωνιο πινακα.(Υποδειξη:Εξεταστε τα ιδεωδη J(A) του Ζ[χ].)

_________________
Opoios kserei na xanei...xanei panta!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Ιαν 2008, 17:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Απρ 2006, 10:23
Δημοσ.: 357
Για την πρώτη άσκηση.

Κοιτάζουμε τον πρώτο πίνακα. Το στοιχείο 1 εμφανίζει τους λιγότερους πρώτους
στην παραγοντοποίησή του και διαιρεί όλα τα στοιχεία της γραμμής και της στήλης του.

Κάνουμε γράμμο-στηλοπράξεις στον πίνακα:

[tex]\left(
\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
12 & 48 \\
20 & 80 \\
\end{array}
\right)[/tex] και καταλήγουμε στον [tex]\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 12 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)[/tex]. Για τον δεύτερο πίνακα παρατήρουμε ότι και το 2 αλλά και το 4
έχουν τους λιγότερους πρώτους παράγοντες. Καθώς το 2 διαιρεί τα πάντα στη
γραμμή και την στήλη του, με εναλλαγή των δύο στήλων φέρνουμε το 2 στην
θέση (1,1). Κάνουμε γράμμο-στήλοπράξεις και καταλήγουμε στον πίνακα: [tex]\left(
\begin{array}{cc}
2 & 0 \\
0 & 2 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)[/tex].

Συνεπώς υπάρχουν βάσεις του [tex]\mathbb{Z}^{2}[/tex] και του [tex]\mathbb{Z}^{3}[/tex] ώστε ο πίνακας της f ως προς αυτές τις βάσεις να είναι ο [tex]\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 12 \\
0 & 0 \\
\end{array}\right)[/tex]. Όμοια υπάρχουν βάσεις του [tex]\mathbb{Z}^{2}[/tex] και του [tex]\mathbb{Z}^{3}[/tex] ώστε ο πίνακας της g ως προς αυτές τις βάσεις να είναι ο [tex]\left(
\begin{array}{cc}
2 & 0 \\
0 & 2 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)[/tex]. Με αυτόν τον τρόπο

[tex]Imf=<(1,0,0),(0,12,0)>[/tex] και


[tex]Img=<(2,0,0),(0,2,0)>[/tex].

Άρα [tex]\frac{\mathbb{Z}^{3}}{Imf}=\frac{\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}}{<(1,0,0),(0,12,0)>} \simeq \mathbb{Z}_{12}\oplus \mathbb{Z}[/tex] και

[tex]\frac{\mathbb{Z}^{3}}{Img}=\frac{\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}}{<(2,0,0),(0,2,0)>} \simeq \mathbb{Z}_{2}\oplus \mathbb{Z}_{2}\oplus \mathbb{Z}[/tex].

_________________
It is not the position you stand, but the direction in which you look.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Ιαν 2008, 17:52 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Απρ 2006, 12:25
Δημοσ.: 566
Τοποθεσια: Halandri
Καλα αυτο το θεμα δεν το ειχαμε ακουμπησει καν περυσι..μονο πως να βγαζουμε τη μορφη Smith ειχαμε αποδειξει..thx:)

_________________
Opoios kserei na xanei...xanei panta!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group