forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2017, 05:10

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκηση/Προβλημα συναρτησιακης αναλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Αύγ 2011, 18:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Ανοιγω αυτο το ποστ για να ξεκινησει παρομοιο "παιχνιδι" με αυτο που γινεται στο "Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας".
Με απλα λογια οποιος εχει να δωσει καποια λυση θα πρεπει να βαζει και καποια ασκηση/προβλημα ακολουθα.

Ασκηση: - Εστω (X,||.||) χωρος με νορμα, D = \{x_n \in X | n \in N\} πυκνο υποσυνολο του και (y_n) ακολουθια στο B(0,1). Να δειχθει οτι το συνολο D' = \{(x_n + \frac{1}{n}y_n) \in X | n \in N\} ειναι πυκνο στο Χ.
- Εστω (X, ||.||) απειροδιαστατος χωρος και D = \{x_n \in X | n \in N\} αριθμησιμο υποσυνολο του Χ. Να δειχθει οτι υπαρχει (y_n) στο B(0,1) ωστε το συνολο D' = \{(x_n + \frac{1}{n}y_n) \in X | n \in N\} ειναι γραμμικα ανεξαρτητο.
- Να δειχθει οτι καθε διαχωρισιμος απειροδιαστατος χωρος περιεχει γραμμικα ανεξαρτητο αριθμησιμο και πυκνο υποσυνολο (ολα τα καλα μαζι δηλαδη).

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα συναρτησιακης αναλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Αύγ 2011, 20:26 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 417
Για το πρώτο, αν x\in X και \varepsilon >0, επιλέγουμε k\in\mathbb N με \frac{1}{k}<\frac{\varepsilon}{2}. Τότε, αφού X=\overline{D}=\overline{D\setminus\{x_1,\dots x_k\}}, υπάρχει x_m\in D με m>k και \|x_m-x\|<\frac{\varepsilon}{2}. Τότε, \left\|x_m+\frac{1}{m}y_m-x\right\|\leq\frac{1}{m}\|y_m\|+\|x_m-x\|\leq\frac{1}{k}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon. Άρα το D^{\prime} είναι πυκνό στον X.

Για το δεύτερο, επιλέγουμε επαγωγικά τα y_n\in B(0,1), έτσι ώστε x_n+\frac{1}{n}y_n\in X\setminus span\left(x_1+y_1,\dots x_{n-1}+\frac{1}{n-1}y_{n-1}\right), ή ισοδύναμα, επιλέγουμε y_n\in B(0,1) εκτός του μετατοπισμένου υποχώρου n\left(span\left(x_1+y_1,\dots x_{n-1}+\frac{1}{n-1}y_{n-1}\right)-x_n\right). Τέτοια επιλογή είναι δυνατή για κάθε n\in\mathbb N, αφού ο X είναι απειροδιάστατος.

Το τρίτο προκύπτει από τα άλλα δύο: υπάρχει D αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο του X, από το δέυτερο βρίσκουμε (y_n) στη B(0,1) ώστε το D^{\prime}=\left\{x_n+\frac{1}{n}y_n|n\in\mathbb N\right\} να είναι γραμμικά ανεξάρτητο, και από το πρώτο, το D^{\prime} είναι πυκνό.


Άσκηση: Έστω X χώρος με νόρμα και έστω ότι υπάρχει ακολουθία (x_n) στον X, τέτοια ώστε \sum_{n\in\mathbb N}|x^*(x_n)|<\infty για κάθε x^*\in B_{X^*}(0,1). Τότε, υπάρχει M>0 τέτοιο ώστε \sum_{n\in\mathbb N}|x^*(x_n)|<M για κάθε x^*\in B_{X^*}(0,1).

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group