forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2017, 19:38

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 51 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Ιαν 2012, 23:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Φεβ 2011, 15:17
Δημοσ.: 1135
Έστω δίκτυο (p_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}\subset A' : p_{\lambda}\to x\in X και έστω V\in \mathhit{n}_x. Τότε \exists \lambda_0\in \Lambda : p_{\lambda}\in V^o \, \forall \lambda\geq \lambda_0, δηλαδή V\in \mathhit{n}_{p_{\lambda_0}} και αφού το p_{\lambda_0}\in A',έπεται ότι το V περιέχει άπειρα σημεία του A, άρα x\in A', δηλαδή το A' είναι κλειστό.

Έστω x\in A' και V περιοχή του x. Τότε V\cap (A\backslash \{x\})\neq \emptyset \Rightarrow V\cap (\overline{A}\backslash \{x\})\neq \emptyset \Rightarrow x\in \overline{A}'.
Έστω x\in \overline{A}' και V ανοιχτή περιοχή του x. Τότε \exists y\in V\cap (A\backslash \{x\}). Ο (X,\mathcal{T}) είναι T_1, άρα \exists G\in \mathcal{T} : y\in G και x\not\in G. Τότε y\in G\cap V, x\not\in G\cap V και G\cap V\in \mathcal{T}. Όμως, y\in \overline{A} \Rightarrow G\cap V\cap A\neq \emptyset \Rightarrow V\cap (A\backslash \{x\})\neq \emptyset \Rightarrow x\in A'.

Η συγκεκριμένη άσκηση ήταν θέμα της προόδου της Πραγματικής Ανάλυσης.

Δίνω κι εγω μιά άσκηση:
Έστω (X,\mathcal{T}) T_1 και T_3 τοπολογικός χώρος, F\subset X κλειστό, G\subset X ανοιχτό και F\subset G. Δείξτε ότι υπάρχει ανοιχτό F_{\sigma}-σύνολο V\subset X ώστε F\subset V\subset G

_________________
Πρέπει να φανταστούμε τον Σίσυφο ευτυχισμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Ιαν 2012, 19:06 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Λοιπον Tod ειχα στο μυαλο μου κατι πολυ πιο απλο :

Θεωπουμε τους πραγματικους με βαση που αποτελειται απο ολα τα ανοιχτα διαστηματα τησ μορφης (α,β) με ακρα ρητους και με τισς τομες αυτων με τους αρρητους.
Τοτε ο χωρος ειναι Haussdorf και εχει αριθμισιμη βαση ,και παρατηρουμε οτι οι ρητοι ειναι κλειστο συνολο που δεν γραφεται ως αριθμισιμη τομη ανοιχτων.

Τωρα ως προς την αλλη που βαζει ο αμπαλος:
Λογω ιδιοτητας των Τ4 μπορουμε να βρουμε περιοχη του F που η κλειστοτητα της περιεχεται στο G.
Πηγαινουμε επαγωγικα ως εξης :
υπαρχει U1 ανοιχτο ωστε να περιεχει το F και clU1 περιεχεται στο G (αυτο που ειπαμε πιο πανω). Μετα εφαρμοζουμε την ιδια ιδιοτητα γαι το clU1 και το G, και παιρνουμε U2 που περιεχει το clU1 και clU2 περιεχεται στο G.
Συνεζιζουμε ετσι και τελικα (ενωση)Ui = (ενωση)clUi .
Και αυτο το συνολο ειναι το ζητουμενο Fσ.


Τελευταία επεξεργασία απο rnst dbrd την 24 Ιαν 2012, 21:58, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Ιαν 2012, 21:28 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Ωπα το περασα στο ντουκου και εκανα λαθος.
Φιλε αμπαλε σιγουρα βγαινει μονο με Τ1 και Τ3?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 01:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Ειναι ασκηση του νεγρεποντη και ζηταει μονο Τ1 και Τ3. Γενικα δεν εχω χρονο αυτες τις μερες φαινεται δυσκολακι θα το κοιταξω το σαββατοκυριακο, παντως ακομα κι αν ηταν Τ4 γιατι \cup U_i = \cup cl(U_i) σε αριθμησιμη ενωση;

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 02:42 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Λογω επαγωγης.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 11:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Δηλαδη αν παρω στο R που ειναι Τ4 για F το {1/2} και για G το (-1,2) και για Ui = (1/i,1) θα χουμε \cup U_i = \cup  cl(U_i) για i>=2 δηλ (1,0) = (1,0];

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 11:55 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Η ισοτητα που ρωτας επεται απο τον τροπο επιλογης των συνολων στην επαγωγη.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 12:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Δε το βλεπω ρε φιλε αυτο

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 12:19 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Κοιτα ο ενας εγκλεισμος ειναι προφανης.
Στο αναποδο, αν παρεις x στην ενωση των κλειστοτητων, υπαρχει i0 ασ πουμε ωστε x ανηκει στο clUi0.
Ομως απο τον τροπο της επιλογης των Ui ,το U(i0+1) περιεχει το clUi0 και ετσι επεται οτι το x ανηκει και στην ενωση των Ui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 12:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Ναι εχεις δικιο κολησε το μυαλο

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 12:26 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Παντως οσο για την αλλη ασκηση το οτι την εχει ο Νεγρεποντης στο βιβλιο του δεν σημαινει απαραιτητα οτι ειναι και σωστη η εκφωνηση.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 13:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Αφου μου ανοιξες τα ματια κατι βγηκε λοιπον...

Εστω F \ne G \ne X, αρα \exists y \in G/F και \forall x \in X/G x δεν ανηκει F.Aρα \exists U_x \in N_x ανοικτο ωστε\forall x \in x/G τοτε U_x \cap F = \emptyset απο Τ3 επισης ταυτοχρονα μπορουμε να επιλεξουμε το Ux ωστε να μην περιεχει το y Λογω του T1. Τοτε X/G \subset \cup U_x=U_1 και αρα F \subset F_1 = X/U_1 \subset G οπου F_1 κλιστο και F \ne F_1 αφου y \in F_1/F. Αν F_1 = G τελειωσαμε (αφου για G=V = \cup F_1 αριθμησιμες φορες εχουμε το ζητουμενο), αλλιως παρατηρουμε οτι X/G \subset X/F_1 οπου X/G,X/F_1 κλειστο, ανοικτο αντιστοιχα. Με τη παραπανω μεθοδο \exists X/G_1 κλειστο ωστε X/G \subset X/G_1 \subset X/F_1 ή F_1 \subset G_1 \subset G οπου G_1 ανοικτο. Αν G_1 = F_1 τελειωσαμε (αφου το F_1 = \cup F_1 ανοικτο) αλλιως συνεχιζουμε για clG_1 \subset G βρισκοντας το F_2 κλπ κατασκευαζοντας ακολουθιες (F_n)_n, (G_n)_n απο κλειστα και νοικτα αντιστοιχα συνολα με F_n \subset G_n \subset F_n+1. Τοτε V = \cup F_n = \cupG_n ανοικτο και F \subset V \subset G.

Αν F=G τοτε για V=F ειμαστε οκ

Αν G=X, τοτε το Χ ειναι ανοικτο και Fσ.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Τελευταία επεξεργασία απο Tod την 25 Ιαν 2012, 14:35, επεξεργάστηκε 3 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 13:45 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Νομιζω εχει το εξης θεμα:
δεν ξερεις αν η clG1 περιεχεται στο G.
Μαλιστα ισχυει κ κατι χειροτερο ,αν ισχυε αυτο στην αποδειξη σου τοτε δινεις τροπο ωστε σε καθε Τ3 για τυχαιο κλειστο που περιεχεται σε ανοιχτο υπαρχει περιοχη του κλειστου που η κλειστοτητα του περιεχεται στο G.
Αρα ειναι Τ4.
Ατοπο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 14:06 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Χμμ εχεις δικιο για το πρωτο κατι θα σκεφτω...

Για το δευτερο οχι ομως αφου int(F_n) δε ξερεις αν περιεχει το F πρεπει να ισχυει και αυτο για το Τ4

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 14:11 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Ποιο εννοεις 2ο ?
Παντως αν ισχυε oτι η κλειστοτητα του G1 να περιεχεται στο G τοτε θα ειχες οτι ηταν Τ4, γιατι το αρχικο F περιεχεται στο G1 το οποιο ειναι ανοιχτο και η κλειστοτητα αυτου περιεχεται στο G.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 51 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group