forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Νοέμ 2017, 02:13

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 51 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3, 4  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Ιούλ 2011, 18:26 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Ο daemon ειχε ξεκινησει παλιοτερα ενα παιχνιδι για θεωρια ομαδων κατα το οποιο μετα το πρωτο ποστ (δηλαδη αυτο) οποιος απαντουσε σε καποια ασκηση ηταν "υποχρεωμενος" να βαλει καινουρια ασκηση. Αυτη τη φορα το θεμα θα ειναι η γενικη τοπολογια.


Ασκηση: 1) Να δειχθει οτι σε καθε Το (Τ-μηδεν ή αλλιως Kolmogorov) τοπολογικο χωρο Χ ισχυει οτι \left| X \right|  \leq 2^{w(X)}.
2) Να δειχθει οτι σε καθε Τ2 (Τ-δυο η αλλιως Hausdorf) τοπολογικο χωρο Χ ισχυει οτι \left| X \right| \leq 2^{(2^{d(X)})}

Ορισμοι: w(X) (weight) ενος τ.χ. Χ ειναι ο μικροτερος πληθαριθμος \left| B \right| οπου Β ειναι μια βαση για τη τοπολογια του Χ. Ετσι πχ καθε 2ος αριθμησιμος τ.χ. Υ εχει w(Y) \leq \left| N \right|
d(X) (density) ενος τ.χ. Χ ειναι ο μικροτερος πληθαριθμος \left| D \right| οπου D πυκνο υποσυνολο του Χ. Ετσι πχ καθε διαχωρισιμος τ.χ. Υ εχει d(Y) \leq \left| N \right|

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Τελευταία επεξεργασία απο sotmath την 09 Αύγ 2011, 14:44, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.
Διόρθωση τύπων σε Latex. Προσπαθήσε να το χρησιμοποιήσεις. Υπάρχει σχετικός οδηγός στα θέματα του φόρουμ και είναι ιδιαίτερα βολικό για εργασίες.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Ιούλ 2011, 08:47 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 03 Μάιος 2010, 14:39
Δημοσ.: 61
Τοποθεσια: Μόναχο
Tod έγραψε:
Ασκηση: 1) Να δειχθει οτι σε καθε Το (Τ-μηδεν ή αλλιως Kolmogorov) τοπολογικο χωρο Χ ισχυει οτι |Χ| =< 2^w(X).
2) Να δειχθει οτι σε καθε Τ2 (Τ-δυο η αλλιως Hausdorf) τοπολογικο χωρο Χ ισχυει οτι |Χ| =< 2^(2^d(X))


1) αρκει να δειξουμε οτι (νδο) |X| \leq |\mathcal{T}|
οποτε οριζουμε συναρτηση f : X \rightarrow  \mathcal{T} με f(x) = {(\overline {\left\{  x \right\}})}^c
τοτε η f ειναι 1-1 αφου εστω x,y. f(x) = f(y) \Rightarrow {(\overline {\left\{  x \right\}})}^c = {(\overline {\left\{  y \right\}})}^c \ \Rightarrow \overline{\left\{ x\right\}} = \overline{\left\{y\right\}} \Rightarrow \overline{\left\{ x\right\}} \subseteq \overline{\left\{ y\right\}} και \overline{\left\{ x\right\}} \supseteq \overline{\left\{ y\right\}} \Rightarrow x \leq y και x\geq y
Και επειδη ο χωρος ειναι T_0 η Specialization preorder ειναι σχεση (μερικης) διαταξης.
Αρα x = y αρα η f 1-1. Αρα |X| \leq |\mathcal{T}| ευκολα αποδεικνιεται οτι |\mathcal{T}| \leq 2^{w(X)}.Αρα συνολικα |X| \leq 2^{w(X)}.

2) αρκει νδο w(X) \leq 2^{d(X)} τοτε αφου ο χωρος ειναι Hausdorf ειναι και Kolmogorov οποτε επαιτε το ζητουμενο.
Αρα οριζουμε συναρτηση g : P(D) \rightarrow \mathcal{T} οπου D ειναι πυκνο με ελαχιστο πληθαρθμο.
Με g(x) = g(\{x_i : i \in I\}) = {(\overline {\{ x_i : i \in I \}})}^c οπου I κατάλληλο συνολο δεικτών.
Τα g(x) ειναι ανοιχτα και περιχουν το κενο συνολο και καλυπτουν το χωρο, αφου
g(D) = \O και g(\O) = X Εστω τωρα Α,Β στο g(P(D)) αρκει νδο
\forall p \in A \cap B, \exists U \in g(P(D)), p \in U, U \subseteq A \cap B
θα δειξουμε οτι A \cap B \in g(P(D)) εστω λοιπον το συνολο S = D \setminus {\overline{D \cap (A \cap B)}} αρκει λοιπον g(S) = A \cap B
Λημμα 1
Εστω D πυκνο υποσυνολο του τ.χ. X και G ανοιχτο, τοτε \overline {(G \cap D)} = \overline D
Λυση:
Αρκει νδο \overline {(G \cap D)} καλυπτει το G. Προς απαγωγη σε ατοπο εστω x \in G, x \nin \overline {(G \cap D)}
Τοτε υπαρχει U ανοιχτο τω x \in U, U \cap (D \cap G) = \O \Rightarrow (U \cap G) \cap D = \O.
Αλλα το U \cap G ανοιχτο και x \in (U \cap G) αρα x \nin \overline D Ατοπο αφου το D πυκνο.
Χρεισημοποιοντας το παραπανω λημμα επαιτε το ζητουμενο δηλ. g(S) = A \cap B.
Αρα το g(P(D)) βαση τοπολογιας, εστω \mathcal {B}, αρα w(X) \leq |\mathcal {B}| \leq 2^{d(X)}.


Προτυνομενο προβλημα;
1) Αποδειξται οτι ενας τ.χ. X ειναι Kolmogorov αν και μονο αν η Specialization preorder ειναι σχεση (μερικης) διαταξης.

(Οποιαδηποτε παρατηρηση στη λυση ευπροσδεκτη :mrgreen: ,
γιατι ακομα δεν εχω καταλαβει αν εχω καπου λαθος ή υποθεση στο προβλημα 2 για τον χωρο να ειναι Hausdorf ειναι πλεοναζουσα και μπορει να αντικατασταθει απο το να ειναι T_0)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Ιούλ 2011, 13:51 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Πραγματι στο 2 δεν εισαι καλα. Δειχνεις οτι το g(P(D)) ειναι βαση για καποια τοπολογια οχι για την αρχικη τοπολογια του Χ απαραιτητα. Π.χ Στο χωρο Sierpinski οπου Χ={α,β} και Τ={Χ,{α},κενο}, το d(X)=|{α}|=1, αλλα με μια αντιστοιχη g παρατηρησε οτι g(P({α}))={κενο,Χ} που ειναι βαση για την τετριμενη τοπολογια και τοτε d(X)=|Χ|=2 . Επιπλεον αν παρεις τον χωρο Χ={α,β,γ} με Τ={Χ,{α,β},{α},κενο} παρατηρησε οτι Χ Τ0, w(X)=4, d(X)=1 και αρα w(X) > 2^d(X)

Για να κανω ακομα δυσκολοτερα τα πραγματα, η συνθηκη w(X) < 2^d(X) ισχυει σε Τ3 χωρους. Αν θες μπορω να σου παραθεσω υποδειξη.

Η πρωτη καλη μου φαινεται, βαζω μια γρηγορη υποδειξη που μπορει ο τροπος επιλυσης να βοηθησει για τη δευτερη. Εστω Β ωστε |Β| = w(X). Οριζω φ: Χ -> P(Β) οπου χ -> Βχ οπου Βχ ολα τα συνολα του Β που περιεχουν το χ. Η φ 1-1 συναρτηση αφου αν χ<>ψ τοτε απο Τ0 υπαρχει G ανοικτο ωστε χ ανηκει G ή ψ ανηκει G. Εστω χ ανηκει G. Τοτε υπαρχει βασικα ανοικτο Γ ανηκει Βχ ωστε Γ υποσυνολο του G. Αρα ψ δεν ανηκει Γ αρα Βχ<>Βψ.

Απαντηση στην ασκηση που εβαλες δε θα δωσω ακομα, μηπως ερθει και κανας τριτος.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Ιούλ 2011, 09:29 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 03 Μάιος 2010, 14:39
Δημοσ.: 61
Τοποθεσια: Μόναχο
Tod έγραψε:
Πραγματι στο 2 δεν εισαι καλα. Δειχνεις οτι το g(P(D)) ειναι βαση για καποια τοπολογια οχι για την αρχικη τοπολογια του Χ απαραιτητα. Π.χ Στο χωρο Sierpinski οπου Χ={α,β} και Τ={Χ,{α},κενο}, το d(X)=|{α}|=1, αλλα με μια αντιστοιχη g παρατηρησε οτι g(P({α}))={κενο,Χ} που ειναι βαση για την τετριμενη τοπολογια και τοτε d(X)=|Χ|=2 . Επιπλεον αν παρεις τον χωρο Χ={α,β,γ} με Τ={Χ,{α,β},{α},κενο} παρατηρησε οτι Χ Τ0, w(X)=4, d(X)=1 και αρα w(X) > 2^d(X)

Για να κανω ακομα δυσκολοτερα τα πραγματα, η συνθηκη w(X) < 2^d(X) ισχυει σε Τ3 χωρους. Αν θες μπορω να σου παραθεσω υποδειξη.

Η πρωτη καλη μου φαινεται, βαζω μια γρηγορη υποδειξη που μπορει ο τροπος επιλυσης να βοηθησει για τη δευτερη. Εστω Β ωστε |Β| = w(X). Οριζω φ: Χ -> P(Β) οπου χ -> Βχ οπου Βχ ολα τα συνολα του Β που περιεχουν το χ. Η φ 1-1 συναρτηση αφου αν χ<>ψ τοτε απο Τ0 υπαρχει G ανοικτο ωστε χ ανηκει G ή ψ ανηκει G. Εστω χ ανηκει G. Τοτε υπαρχει βασικα ανοικτο Γ ανηκει Βχ ωστε Γ υποσυνολο του G. Αρα ψ δεν ανηκει Γ αρα Βχ<>Βψ.

Απαντηση στην ασκηση που εβαλες δε θα δωσω ακομα, μηπως ερθει και κανας τριτος.


Σωστα. Μαλλον ερμυνευσα οπως με βολευαι την εννοια της βασης :mrgreen:
Παντως η υποδιξηση σου ειναι αρκετα κατατοπιστικη.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Αύγ 2011, 16:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Λοιπον επειδη φευγω διακοπες αυριο σημερα λεω να κανω τρια πραγματα:

1ον Υποδειξη για το δευτερο ερωτημα που εθεσα. Εστω Α = d(X). Για καθε χ ανηκει Χ οριζουμε το συνολο Α(χ)={Α τομη Ν | Ν ανοικτη βασικη περιοχη του χ στο Χ} υποσυνολο του P(P(A)). Λογω του οτι ο Χ Τ2 χωρος επεται οτι για καθε χ ισχυει {χ} = τομη{clN|οπου Ν ανοικτη βασικη περιοχη του χ}. Σε σθνδιασμο με το οτι cl(A τομη G) = clG οπου G ανοικτο εχουμε οτι για καθε χ<>ψ επεται Α(χ)<>Α(ψ). Οποτε αν οριστει η συναρτηση απο Χ -> P(P(A)) ωστε χ -> Α(χ) φαινεται ευκολα απο τα παραπανω οτι η συναρτηση ειναι 1-1.

2ον Λυση στο προβλημα του Tychoon
=>) Ο Χ Τ0. Τοτε οριζουμε τη σχεση "=<" ωστε χ =< ψ ανν το cl{x} υποσυνολο του cl{ψ} θ.δ.ο ειναι μερικη διαταξη
-χ=<χ Προφανες
-Αν χ=<ψ και ψ=<χ τοτε επεται οτι cl{x}=cl{ψ}. Αν χ<>ψ τοτε απο Τ0 υπαρχει G ανοικτο ωστε καποιο απο τα δυο να ανηκει εκει ενω το αλλο οχι. Εστω οτι το χ ανηκει εκει. Τοτε το Α=Χ\G ειναι κλειστο υπερσυνολο του {ψ} οπου το χ δεν ανηκει εκει. Αρα το Α τομη {Χ} ειναι κενο. Απο τον ορισμο της κλειστοτητας εχουμε οτι cl{x}<>cl{ψ}. Οποτε αναγκαστηκα {χ}={Ψ}
-Αν χ =< ψ και ψ =< ζ τοτε προφανως χ =< ζ
<=) Ο Χ ειναι εφοδιασμενος με τη Specialization Preorder. Τοτε ειναι Τ0. Πραγματι αν χ,ψ ωστε χ<>ψ, τοτε cl{x} <> cl{ψ}. Απο τον ορισμο της κλειστοτητας υπαρχει καποιο κλειστο υπερσυνολο του χ ή του ψ, εστω του χ ωστε το ψ να μην ανηκει σε αυτο. Οποτε το συμπληρωμα αυτου του συνολου ειναι ανοικτο συνολο οπου ανηκει το ψ και οχι το χ. Αρα Χ το

3ον Βαζω το επομενο ερωτημα.
-Εστω Χ τοπολογικος χωρος Τ1 (ή Frechet), εστω Α υποσυνολο του Χ με Α' μη κενο και εστω χ ανηκει Α'. Να δειχθει οτι για καθε περιοχη Ν του χ ισχυει οτι το συνολο {Α τομη Ν\{χ}} ειναι απειρο. (Με Α' συμβολιζεται το συνολο των σημειων συσσωρευσης του συνολου Α).
-Να δωθει αντιπαραδειγμα χωρου (προφανως οχι Τ1) ωστε ενα χ να ειναι σ.σ. καποιου συνολου Α ωστοσο για καποια περιοχη του, Ν να ισχυει οτι το (Α τομη Ν/{χ}) πεπερασμενο

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Αύγ 2011, 15:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Θα δωσω ο ιδιος μια υποδειξη για το τελευταιο ερωτημα και θα θεσω ενα επομενο ως αφορμη, για να δοκιμασω τις ικανοτητες μου στο Λατεχ.

Υποδειξη. Εστω τ.χ. Χ ο οποιος ειναι T_1 ,A \subset X , x \in A&#39; και G \in N_x ανοικτο ωστε G/\{x\} \cap A = \{x_1, x_2, ..., x_n\} οπου n φυσικος. Αφου ο Χ ειναι T_1 επεται οτι \forall x_i \exists Gi ανοικτο x_i \in G_i και x \notin G_i \forall i \in \{1,...,n\}{. Θετoντας U = G \cap G_1 \cap ... \cap G_n τοτε U \subset G , U \in N_x και U/\{x\} \cap A = \emptyset, αρα το χ δεν ειναι σ.σ. ατοπο.
Ενα παραδειγμα τετοιου χωρου ειναι ενας Χ με την τοπολογια του ιδιαιτερου σημειου {a}, αφου \forall x \ne a , G \in N_x, αν και μονο αν \{x,a\} \subset G, και αρα \emptyset \ne \{a\} \subset G/\{x\} \cap X. Αρα χ σ.σ. ομως \{x,a\} \in N_x και \{a\} = \{x,a\}/\{x\} \cap X πεπερασμενο.
Απο το παραπανω μπορει να βγει πορισμα οτι καθε T_1 και πεπερασμενος τ.χ. ειναι διακριτος αφου καθε σημειο του ειναι μεμονομενο και αρα ανοικτο ως μονοσυνολο.


Ερωτημα: Αν ενας Χ τ.χ. ειναι συμπαγης και T_4 τοτε ισχυει η συνθηκη οτι για καθε ανοικτο καλυμμα του Χ υπαρχει πεπερασμενη κλειστη εκλεπτυνση (και οχι πεπερασμενο κλειστο υποκαλυμμα οπου σαν κοπανος ειχα γραψει αρχικα).

Ορισμος: Εκλεπτυνση ενος καλυμματος \{G_i\}, i \in I ειναι ενα καλυμμα \{U_j\}, j \in J, ωστε \forall j \in J, \exists i_0 \in I, U_j \subset G_i_0.

Παρατηρηση: Οποτε απο το ερωτημα ζητηται να βρεθει εκλεπτυνση πεπερασμενου πληθαριθμου αποτελουμενη απο κλειστα συνολα για καθε ανοικτο καλυμμα.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Σεπ 2011, 19:07 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Estw anoixo kalumma.Logw sumpageias exoume peperasmeno upokalumma tou estw {G1,...,Gn}.Tote uparxei anoixto kalumma {V1,...,Vn} wste cl(Vk) uposunolo tou Gk gia k=1,..,n. Pragmati : X \ (G2enwsiG3enwsi..enwsiGn) periexetai sto G1 . Afou X T4 epetai oti uparxei V1 anoixto wste to X \ (G2enwsiG3enwsi..enwsiGn) periexetai sto V1 to opoio periexetai sto cl(V1) to opoio periexetai sto G1 .Ara V1(enwsi)G2(enwsi)G3...(enwsi)Gn=X .Me epagwgi epetai to zitoumeno .




Askisi
An X apeiros Hausdorff tote uparxei arithmisimo diakrito uposunolo tou.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Σεπ 2011, 16:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Προφανως θες απειρο αριθμησιμο τετοιο συνολο αφου διαφορετικα το \{x\} οπου x \in X θα ηταν αρκετο σε οποιονδηποτε χωρο οχι απαρατιτητα T_2.

Θα δειξω κατι ισχυροτερο

Σε καθε T_2 τ.χ. Χ, υπαρχει απειρη οικογενεια απο ανοικτα ξενα ανα δυο συνολα.

Ισχυρισμος: \exists U ανοικτο ωστε int(X/U) απειρο.
Αποδ. Αφου Χ T_2 ισχυει οτι \forall x,y \in X x \ne y \exists G_1, G_2 ανοικτα ωστε x \in G_1, y \in G_2 , G_1 \cap G_2 = \emptyset. Διακρινουμε περιπτωσεις:
-Το G_1 (αντ. G_2) ειναι απειρο τοτε επειδη G_1 \subset X/G_2 τοτε G_1 \subset int(X/G_2) αρα int(X/G_2) απειρο.
-Το G_1, G_2 πεπερασμενα. Τοτε αφου καθε T_2 ειναι και T_1, επεται cl(G_1) \cap cl(G_2) = G_1 \cap G_2 = \emptyset. Αρα X/cl(G_1) \cup X/cl(G_2) = int(X/G_1) \cup int(X/G_2) = X και αρα int(X/G_1) απειρο ή int(X/G_2) απειρο.

Με αναδρομη
-Για ν=1, απο λημμα υπαρχει G_1 ανοικτο ωστε int(X/G_1) απειρο.
-Για ν=k εστω οτι εχει ορισθει η οικογενεια, τοτε ο Y=X/(cl(G_1) \cup ... \cup cl(G_n)) ειναι ανοικτος T_2 απειρος υποχωρος του Χ αρα υπαρχει G_k+1 ανοικτο στο Υ αρα και στο Χ ωστε int(Y/G_(k+1))=X/(cl(G_1)\cup... \cup cl(G_k) \cup cl(G_(k+1))) απειρο.
Ετσι οριζεται μια οικογενια απειρη αριθμησιμη \{Gn\} απο ανοικτα και ξενα ανα δυο συνολα


Τελος
Με αξιωμα επιλογης υπαρχει ακολουθια (x_n) ωστε x_n \in G_n \forall n \in N. Τοτε το συνολο A = \{x_n | n \in N\} ειναι προφανως διακριτο και απειρο αριθμησιμο.

Ασκηση:
-Σε ενα τοπολογικο χωρο Χ, για καθε τοπικα πεπερασμενη οικογενεια \{A_i\}_(i \in I) ισχυει cl( \cup A_i) = \cup (cl(A_i))
-Ν.δ.ο. η συνθηκη ειναι ικανη οχι αναγκαια.

Ορισμος: Μια οικογενεια \{A_i\}ειναι τοπικα πεπερασμενη στο Χ αν \forall x \in X \exists U \in N_x ωστε U \cap A_i = \emptyset \forall i \in I εκτος ισως απο πεπερασμενο πληθος i \in I.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Σεπ 2011, 22:45 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
loipon phgainei ws exhs : estw x stin kleistothta twn enwsewn kai U perioxh tou x .Afou h oikogeneia einai topika peperasmenh uparxei U(x) perioxh tou x wste h U(x) na temnei peperasmena to plithos Ai as poume ta Ai1,...,Ain .H tomh tou U(x) me to U (as poume thn tomh authn V(x)) einai perioxh tou x .Ara to V(x) tomh me thn enwsh twn Ai einai mh kenh .Isodunama V(x) tomh me to Ai1(enwsh)...(enwsh)Ain mh keno .Ara to x anhkei sto cl(Ai1(enwsh)...(enwsh)Ain) .Ara to x anhkei sto clAi1(enwsh)...(enwsh)clAin .Ara kai stin ws pros i enwsh twn kleistothtwn .Gia to anapodo :estw x stin ws pros i enwsh twn kleistothtwn .tote gia kapoio i0 to x anhkei sto Ai0 .Ara gia tuxousa U perioxi tou x to U tomh Ai0 mh keno kai ara U tomh thn ws pros i enwsi twn Ai einai mh keno .Ara to zitoumeno .




ASKISI
Estw X uperarithmisimos xwros Hausdorff (me ton plitharithmo tou sunexous) .Yparxei gnhsio diakrito tou uposunolo me plhtharithmo to sunexes?An isxuei genika,na to apodeixete.An oxi, na vreite mia oloklhrh klash xwrwn pou den ikanopoiei to sumperasma .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Σεπ 2011, 02:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Δυο παρακλησεις πρωτου δωσω απαντηση,
-Η μια ειναι αν μπορεις χρησιμοποιησε Latex και γω προσφατα εμαθα και το χρησιμοποιησηα πρωτη φορα εδω σε προηγουμενο προβλημα. Δεν ειναι τοσο δυσκολο. Οι αποδειξεις σου ειναι εξαιρετικα δυσαναγνωστες.
-Η αλλη ειναι αν μπορεις απαντησε και στο δευτερο σκελος της ερωτησης μου σε παρακαλω (ενα αντιπαραδειγμα θελω)
Απο κει και περα βρησκω εξαιρετικα ενδιαφερον αυτο το παιχνιδι

Απαντηση: Οχι
Απο λημμα του jones εχουμε οτι \forall T_4, διαχωρησιμο τ.χ. καθε κλειστο και διακριτο υποσυνολο του εχει πληθαριθμο γνησια μικροτερο του συνεχους,
Αν προσθεσουμε την T_1 ιδιοτητα (κανομε δηλαδη το χωρο φυσιολογικο) τοτε η απαιτηση μας να ναι κλειστο το υποσυνολο ειναι περιττη. Αφου καθε διακριτο υποσυνολο σε φυσιολογικους χωρους ειναι κλειστο . Επισης ο χωρος γινεται και T_2.

Ασκηση
Να δειχθει οτι ο R δεν ειναι ομοιομορφικος με τον R^n \forall n \in N, n \geq 2

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Σεπ 2011, 19:13 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Apanthsh sthn prwth paraklhsh : Exeis dikio amingo ,tha kanw oti mporw .
Apanthsh sthn defterh paraklhsh : Den thn prosexa xthes.

Nomizw oti exei paizei na exei ginei mia parexigisi me to ti ennousa diakrito uposunolo .
An theleis anefere poion orismo eixes sto mualo sou otan elunes thn askhsh kai meta an thes mia apodeixh tou "Αφου καθε διακριτο υποσυνολο σε φυσιολογικους χωρους ειναι κλειστο" .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Σεπ 2011, 09:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Ο ορισμος που ειχα στο μυαλο μου ειναι ο εξης: Ενα υποσυνολο Υ ενος τ.χ. Χ ειναι διακριτο αν ο Υ με τη σχετικη τοπολογια εχει ολα τα μονοσυνολα του ανοικτα.
Ειχες καποιον αλλον οταν εθετες το ερωτημα;

Η αποδειξη που ζητας: Βλακεια εχω γραψει παραπανω τελικα ετσι με λιγη σκεψη (αφου ο R ειναι φυσιολογικος και το {1/ν| ν ανηκει Ν} ειναι δικαριτο ενω δεν ειναι κλειστο). Θα ξανασκεφτω το ερωτημα και θα προσπαθησω να απαντησω ξανα (Αυτη τη στιγμη που το γραφω μου φαινεται οτι οι δευτεροι αριθμησιμοι κανουν δουλεια αλλα προκειμενο να μη γραψω κατι σαν κοπανος παλι θα το σκεφτω καλα).

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Σεπ 2011, 10:10 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Oxi auton eixa kai gw .Edw pou ta leme den nomizw na uparxei kai allos.Tis apanthseis stis askhseis p evales tha tis perasw otan kleisoume m aftin thn askisi .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Σεπ 2011, 15:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Για παμε παλι...
Εστω Χ τ.χ., 2ος αριθμησιμος και Α υπεραριθμησιμο δικακριτο υποσυνολο. Τοτε \forall x \in A.  \exists G_x ανοικτο στο Χ, ωστε \forall y \in A/\{x\}, y δεν ανηκει G_x απο Α διακριτο. Εστω C = \{B_n \subset X | B_n ανοικτο \} αριθμησιμη βαση του Χ. Τοτε \forall G_x,  \exists B_n_x \subset G_x και x \in B_n_x \in C. Θετουμε f : A \rightarrow C ωστε f(x) = B_n_x. Θα δειξουμε οτι f 1-1. Πραγματι εστω x \ne y
τοτε \emptyset \subset \{x\} \subset B_n_x / B_n_y αρα B_n_x \ne B_n_y. Αρα |N| < |A| \leq |C| δηλαδη C υπεραριθμησιμο ατοπο. Ελπιζω τωρα να μαι οκ.


Ασκηση:
-Σε ενα τοπολογικο χωρο Χ, για καθε τοπικα πεπερασμενη οικογενεια \{A_i\}_(i \in I) ισχυει cl( \cup A_i) = \cup (cl(A_i)) (αυτο θεωρητε γνωστο εχει λυθει). Ν.δ.ο. η συνθηκη ειναι ικανη οχι αναγκαια (αντιπαραδειγμα).
-Να δειχθει οτι ο R δεν ειναι ομοιομορφικος με τον R^n \forall n \in N, n \geq 2


υ.γ. Οπως ελεγξες οτι εχω γραψει σαν κρετινος κατι, βοηθαμε να ελεγξω κι εγω οτι τα χεις κανει ολα μια χαρα γραφοντας καθαρα κι αν γινετε με Latex. (Η αληθεια ειναι οτι δεν ειχα κουραγιο να κοιταξω εκτενως τις απαντησεις σου για την ορθοτητα τους). Εστω γραψε μια δυο προτασεις με Latex δοκιμαστηκα.
υ.γ.2 Ελπιζω να μαι οκ τωρα αλλα ελεγξε το, δυο μερες τωρα εχω λιωσει στις κρεπαλες ειναι πολυ πιθανο να γραφω οτι να ναι. Το προηγουμενο ποστ μου που εγινε 9 το πρωι ημουν ξαγρυπνος και ημιμεθυσμενος οποτε φοβηθηκα να κανω την αποδειξη τοτε :P . Παντως μου φαινεται αρκετο πως μεσα στη τρικυμια εν κρανιω καταλαβα τι πατατα ειχα κανει και γιατι...

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Ιαν 2012, 23:45 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Epeita apo pollous mines apoxhs lew na sinexisoume dila dila pali to paixnidi.
Loipon dinw mia askisi :

Breite t.x oxi Hausdorff wste kathe diktuo pou kathe oura tou periexei toulaxiston 3 diaforetika stoixeia sugklinei to polu se 3 shmeia.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 51 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3, 4  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group