forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 13 Δεκ 2017, 11:25

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 51 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιαν 2012, 19:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Φεβ 2011, 15:17
Δημοσ.: 1135
Ούτε εγώ βγάζω κάποια άκρη ...
(Ελπίζω να μην υπάρχει τυπογραφικό λάθος.)

_________________
Πρέπει να φανταστούμε τον Σίσυφο ευτυχισμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Απρ 2012, 19:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Μετα το χαος που εφερε ο αμπαλος (και καλα εκανε) θετω καινουριο ερωτημα.

Να βρεθει παραδειγμα τοπολογικου χωρου Χ, και ανοικτων υποσυνολων του Α, Β ωστε
cl(A) \cap cl(B), cl(A) \cap B, A \cap cl(B), cl(A \cap B) να ναι ολα διαφορα ανα δυο.

Μια υποδειξη αλλα θα προτιμουσα χωρις αυτην (αν ειναι κι ολας δυνατον σε αλλο χωρο)
Spoiler:
Βγαινει σχετικα ευκολα στο τοπολογικο χωρο της αρρητης κλισης. (Αν καποιος δε μπορει να βρει αλλο χωρο ας το δειξει σε αυτον)

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Απρ 2012, 11:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Φεβ 2011, 15:17
Δημοσ.: 1135
Με τη βοήθεια του spoiler - αν και λογικά, υπάρχει πιό απλό παράδειγμα.
Στην τοπολογία της άρρητης κλίσης με \theta = \sqrt{2}, επιλέγοντας A=N_{1/2\sqrt{2}}(0,1), B=N_{3/{4\sqrt{2}}(\frac{2}{\sqrt{2}},1) έχουμε:
\overline{A}\cap B είναι το διάστημα (\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{3}{2\sqrt{2}}) και το σημείο (\frac{2}{\sqrt{2}},1)
A\cap \overline{B} είναι το διάστημα (\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{3}{2\sqrt{2}}) και το σημείο (0,1)
\overline{A\cap B} είναι τα σημεία από τις ευθείες με κλίση \pm \sqrt{2} που περνάνε από τα σημεία του διαστήματος (\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{3}{2\sqrt{2}})
και \overline{A}\cap \overline{B} είναι το \overline{A\cap B} και δύο ορθογώνια (φαίνονται στο σχήμα)

Έστω (X,\mathcal{T}) τοπολογικός χώρος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
(i)Για κάθε ανοιχτό G\subset X το \overline{G} είναι επίσης ανοιχτό.
(ii) Για κάθε G,H\subset X ανοιχτά με G\cap H=\emptyset ισχύει \overline{G}\cap \overline{H}=\emptyset.


Edit: Στον \mathbb{R} αν πάρουμε A=\mathbb{Q}\cap (0,+\infty), B=(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q})  \cap (-\infty ,1) έχουμε
\overline{A}\cap B=(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q})  \cap [0,1], A\cap \overline{B}= \mathbb{Q}\cap[0,1], \overline{A\cap B}= \emptyset και \overline{A}\cap \overline{B}=[0,1]

_________________
Πρέπει να φανταστούμε τον Σίσυφο ευτυχισμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Μάιος 2012, 16:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
1.
AmpalosMathimatikos έγραψε:
Έστω (X,\mathcal{T}) τοπολογικός χώρος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
(i)Για κάθε ανοιχτό G\subset X το \overline{G} είναι επίσης ανοιχτό.
(ii) Για κάθε G,H\subset X ανοιχτά με G\cap H=\emptyset ισχύει \overline{G}\cap \overline{H}=\emptyset.


i) => ii) Εστω G, H με G \cap H = \emptyset ανοικτα, τοτε G \subset X/H κλειστο. Αρα cl(G) \subset X/H απο υποθεση cl(G) ανοικτο αρα clG \subset int(X/H) = X/cl(H) αρα cl(G) \cap cl(H) = \emptyset

ii) => i) Εστω G ανοικτο κι εστω οτι cl(G) οχι ανοικτο. Αρα \exists x \in cl(G) ωστε \forall G ανοικτο, οπου x \in G, \exists y \in G ωστε να μην ανηκει στο cl(G). Με αλλα λογια x \in cl(X/cl(G)). Αρα x \in cl(X/cl(G)) \cap cl(G) διαφορο του \emptyset.
Απο την αλλη X/cl(G) \subset X/G, αρα X/cl(G) \cap G = \emptyset αρα απο υποθεση cl(X/cl(G)) \cap cl(G) = \emptyset. Ατοπο.

υ.γ. Βγαινει και πιο ευκολο με χρηση της εννοιας του συνορου.

2.
AmpalosMathimatikos έγραψε:
Edit: Στον \mathbb{R} αν πάρουμε A=\mathbb{Q}\cap (0,+\infty), B=(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}) \cap (-\infty ,1) έχουμε
\overline{A}\cap B=(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}) \cap [0,1], A\cap \overline{B}= \mathbb{Q}\cap[0,1], \overline{A\cap B}= \emptyset και \overline{A}\cap \overline{B}=[0,1]


Αν προσεξεις το ερωτημα που εθεσα ζηταγε το Α και το Β να ναι ανοικτα (πραγμα που τηρησες στο παραδειγμα με την αρρητη κλιση)...

3. Ερωτημα:
Εστω ο R^2 με τη συνηθη τοπολογια.
1) Υπαρχουν συνολα A_1, A_2 ωστε να χουν κοινο συνορο;
2) Υπαρχουν συνολα A_1, A_2, A_3 ωστε να χουν κοινο συνορο (και τα τρια ταυτοχρονα);
.
.
.
κ)Υπαρχουν συνολα A_1,..., A_{k+1} ωστε να χουν κοινο συνορο (ολα μαζι ταυτοχρονα);

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Μάιος 2012, 21:36 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 01 Σεπ 2011, 18:22
Δημοσ.: 28
Sorry Tod, αλλα μετα το μπαχαλο του αμπαλου ας το κανουμε πιο ψαρωτικο.
Κανω μια ρελανς στην Ασκηση του Tod θετοντας το εξης ερωτημα:
Υπαρχουν απειρα συνολα ωστε να εχουν κοινο συνορο ολα μαζι ταυτοχρονα?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκηση/Προβλημα γενικης τοπολογιας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Σεπ 2012, 17:51 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 02 Οκτ 2010, 18:14
Δημοσ.: 82
Για κάθε πρώτο p το \mathbb{Z}[\sqrt p]=\{a+b\sqrt p: a,b \in \mathbb{Z}\} είναι πυκνό στο \mathbb{R} από το Λήμμα Kronecker (αν λέγεται έτσι δηλαδή). Άρα, για A_p=\mathbb{Z}[\sqrt p] x \{0\} είναι cl(A_p)= \mathbb{R} x \{0\} , int(A_p)=\emptyset άρα bd(A_p)= \mathbb{R}x\{0\} για κάθε πρώτο p. Μάλιστα, αν βάλουμε τον περιορισμό b \neq 0 τα σύνολα παραμένουν πυκνά στο \mathbb{R} και γίνονται και ξένα.

Edit: Και για να μην σταματήσει εδώ, βάζω ένα πρόβλημα που είχα συναντήσει πέρσι. Πιθανότατα το θυμάμαι λάθος. Θα φανεί. Λοιπόν,
Να εξετάστει αν υπάρχει πυκνό υποσύνολο D του \mathbb{R}^2, τέτοιο ώστε κάθε οριζόντια και κάθε κατακόρυφη ευθεία να το τέμνει το πολύ σε ένα σημείο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 51 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group