forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 22 Σεπ 2017, 06:34

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: "Fractal"
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μαρ 2011, 23:39 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 48
Ελπίζω να είμαι στην σωστή κατηγορία.Έστω το ευθύγραμμο τμήμα του διαστήματος [0,1] και ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πάνω σε αυτό.Φέρνουμε τις διαμέσους Δ,Ε,Ζ στην αριστερή,δεξιά και κάτω πλευρά αντίστοιχα και παίρνουμε τα τρίγωνα ΑΔΖ,ΖΕΓ και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο επ'αόριστον."Οριακά",η συστοιχία τριγώνων τείνει να γίνει το ΑΓ(το εμβαδόν αυτής τείνει στο 0) ενώ η περίμετρος παραμένει σταθερή,άρα το μήκος του [0,1] είναι 3.Που το λάθος;(δεν είναι κάποιο quiz,θα ήθελα να μάθω την απάντηση).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: "Fractal"
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Μαρ 2011, 21:05 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 15 Μαρ 2008, 23:19
Δημοσ.: 2
Δεν υπάρχει κάπου λάθος, η διαδικασία που περιγράφεις είναι ένα γεωμετρικό παράδοξο

δες στο παρακάτω link το παράδοξο αυτό όπως περιγράφεται στο βιβλίο :
Θεωρητική Γεωμετρία, Β΄ Λυκείου Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα 1991 Αλιμπινίσης- Δημάκος- Δρακόπουλος. Κυριαζής- Τασσόπουλος, σελ. 69

http://img402.imageshack.us/i/paradokso.jpg/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: "Fractal"
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Μαρ 2011, 14:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Παρατηρηση: Εστω ισοσκελες τριγωνο τοτε το μηκος του υψους λ απο τη βαση του τριγωνου ειναι μικροτερο απο το μηκος ξ οποιασδηποτε απο τις δυο ισες πλευρες. Αρα και 2λ<2ξ.
Εστω οι δυο χωροι C[0,1] και R με τη supremum και τη συνηθη μετρικη αντιστοιχα, και εστω η συναρτηση F:C[0,1] -> R f -> μετρο Lebesgue του γραφηματος της f (με αλλα λογια το μηκος του γραφηματος της f). Δηλαδη η F απεικονιζει καθε συναρτηση στο μηκος του γραφηματος της. Θ.δ.ο η F δεν ειναι συνεχης στη φ(χ)=0 για καθε χ ανηκει [0,1]. Πραγματι (παιρνω την αρνηση του ορισμου της συνεχειας) με ε=1 και εστω δ>0. Επιλεγω ν φυσικο ωστε ν(δ/2)>1 (απο αρχημειδια ιδιοτητα) και κανω την εξης διαμεριση στο [0,1], την P={x0=0, x1=1/ν, χ2=2/ν, ..., χν=1}, επιπλεον για καθε [χι,χ(ι+1)] οπου ι ανηκει {0,1,...,ν-1} επιλεγω το ψι=(χι+χ(ι+1))/2 (δηλαδη απο καθε διαστημα παιρνω τον μεσο). Με τα παραπανω δεδομενα παιρνω συναρτηση γ:[0,1]->R ωστε αν χ ανηκει [χι,ψι] τοτε γ(χ)=[(χ-χι)/(ψι-χι)]*δ/2 για καθε ι ανηκει {0,1,...,ν-1} (δηλαδη στο διαστημα [χι,ψι] το γραφημα ειναι ενα ευθυγραμμο τμημα μηκους ξ απο το (χι,0)στο (ψι,δ/2)) ενω αν χ ανηκει [ψι,χ(ι+1)] τοτε γ(χ)=[(χ(ι+1)-χ)/(χ(ι+1)-ψι)]*δ/2 (ολα αυτα τα ευθυγραμμα τμηματα φαινεται ευκολα οτι εχουν ισο μηκος ξ). Οποτε διαισθητικα το γραφημα ειναι ν ισοσκελη τριγωνα χωρις τη βαση τους στη σειρα, ενωμενα στις γωνιες τους, με υψος δ/2. Απο λημμα της συγκολισης η γ συνεχης αρα ανηκει C[0,1]. Επισης |γ|=δ/2 αρα γ ανηκει Β(φ,δ) = η ανοικτη μπαλα στο C[0,1] με κεντρο φ και ακτινα δ. Ομως F(γ)=ν(2*ξ)>ν(2*δ/2)>2. Επισης ππροφανως F(φ)=1. Ομως |F(φ)-F(γ)|>=||F(φ)|-|F(γ)||>=2-1=1=ε. Αφου δ>0 τυχον επεται F αυνεχης στο φ.
Συμπερασμα αφου F ασυνεχης δεν ισχυει η αρχη της μεταφορας. Δηλαδη υπαρχει ακολουθια fn->φ στο C[0,1] οπου η (F(fn)) να μην συγκλινει στο F(φ). Τα παραδειγματα παραπανω ειναι ακριβως αυτη η περιπτωση δηλαδη εχουμε μια ακολουθια γραφηματων που συγκλινει στο γραφημα της φ και ωστοσο η ακολουθια των μηκων τους δεν συγκλινει στο μηκος της φ. Με αλλα λογια λογω της ασυνεχειας της F δεν ειναι καθολου "περιεργο" να βρεις ακολουθια με αυτη την ιδιοτητα.

Υ.γ. Με τα παραπνω δε θα το ονομαζα ακριβως παραδοξο, αλλα απλως συγκρουσιακο με τη διαισθηση των περισσοτερων ανθρωπων (μεσα και εμενα) αν και αυτο λεει εν ολιγοις η πηγη του Jmath.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group