forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 13 Δεκ 2017, 11:28

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση Γεωμετρίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Ιαν 2011, 22:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Μαρ 2008, 12:28
Δημοσ.: 456
Τοποθεσια: N. Kόσμος (τον παλιό τον γκρεμίσαμε!)
Υπάρχουν χάρτες (U,\phi) και (V,\psi) οι οποίοι είναι διαφορικά συμβιβαστοί αλλά όχι τοπολογικά?

_________________
"C'est par la logique qu'on démontre, c'est par l'intuition qu'on invente."
(Henri Poincaré)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση Γεωμετρίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2011, 18:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 632
Ναί, με την έννοια ότι είναι διαφορίσιμα συμβατοί στις διαφορετικές τοπολογικές πολλαπλότητες όπου ευρίσκονται, αλλά αυτές οι τελευταίες είναι μεταξύ τους ασύμβατες.

Ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι όμως η άλλη...να βρίσκονται οι χάρτες σε ίδια τοπολογική πολλαπλότητα (ή σε συμβατές τοπολογίες)... τότε μάς κινούν το ενδιαφέρον για το άν είναι και διαφορίσιμα συμβατοί ή όχι (ώστε να γίνουν πχ (διαφορίσιμοι) άτλαντες).
Άν είναι, τότε μιλάμε για διαφορίσιμη πολλαπλότητα, η οποία μάς ενδιαφέρει, διότι μόνο άν έχουμε απεικονίσεις μετάβασης (δλδ διαφορίσιμους χάρτες) έχει και νόημα να ορίσουμε διαφορίσιμες συναρτήσεις και διαφορίσιμες απεικονίσεις...ειδ’ άλλως δεν έχει..

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Γεωμετρίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2011, 22:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Μαρ 2008, 12:28
Δημοσ.: 456
Τοποθεσια: N. Kόσμος (τον παλιό τον γκρεμίσαμε!)
Άρα να καταλάβω. Αν έχουμε μια τοπολογική πολλαπλότητα, στην οποία έχουμε διαφορίσιμα συμβιβαστούς χάρτες, τότε η πολλαπλότητα αυτή είναι διαφορίσιμη, γιατί δεν θα είχαμε αλλιώς νόημα. Αν όμως έχω μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα, τότε έχω διαφορικά συμβιβαστούς χάρτες. Σε μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα μπορώ να έχω διαφορικά συμβιβαστούς χάρτες, οι οποίοι δεν θα είναι τοπολογικά συμβιβαστοί? Αν πράγματι ισχύει, έχετε κάποιο εύκαιρο παράδειγμα να μου πείτε;

_________________
"C'est par la logique qu'on démontre, c'est par l'intuition qu'on invente."
(Henri Poincaré)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Γεωμετρίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Ιαν 2011, 03:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
Με συγχωρείτε, αλλά νομίζω ότι η απάντηση στο ερώτημα του Christiano είναι όχι.

Αν κατάλαβα καλά (αν όχι διόρθωσέ με), ο Christiano ρωτάει αν δύο χάρτες (U,\phi) και (V,\psi) tης ίδιας πολλαπλότητας Μ, δηλαδή U,V\subseteq M (συν οι σχετικές προϋποθέσεις του ορισμού των χαρτών) γίνεται να είναι διαφορικά συμβιβαστοί αλλά όχι τοπολογικά συμβιβαστοί.

Οι (U,\phi) και (V,\psi) είναι τοπολογικά συμβιβαστοί αν και μόνο αν η απεικόνιση \psi\circ\phi^{-1} είναι ομοιομορφισμός, ενώ

οι (U,\phi) και (V,\psi) είναι διαφορικά συμβιβαστοί αν και μόνο αν η απεικόνιση \psi\circ\phi^{-1} είναι αμφιδιαφόριση.

Οπότε, αν οι (U,\phi) και (V,\psi) είναι διαφορικά συμβιβαστοί \Rightarrow η απεικόνιση \psi\circ\phi^{-1} είναι αμφιδιαφόριση \Rightarrow η απεικόνιση \psi\circ\phi^{-1} είναι ομοιομορφισμός \Rightarrow(U,\phi) και (V,\psi) είναι τοπολογικά συμβιβαστοί.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση Γεωμετρίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Ιαν 2011, 11:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 632
Ναί, σωστά... για δύο χάρτες τής ίδιας πολλαπλότητας ισχύουν αυτά που λές ...είναι αυτό που ονόμασα ενδιαφέρουσα περίπτωση.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Γεωμετρίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Φεβ 2011, 17:47 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 22 Δεκ 2007, 17:21
Δημοσ.: 27
Νομίζω ότι σε αυτό αναφερόταν προηγουμένως ο Apokalyptikos: μπορεί η ίδια τοπολογική πολλαπλότητα να επιδέχεται πολλές μη συμβατές διαφορικές δομές, δηλαδή διαφορίσιμους άτλαντες που δεν είναι (διαφορικά) συμβιβαστοί μεταξύ τους. Βλ. εξωτικές σφαίρες: http://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_sphere


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Γεωμετρίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Φεβ 2011, 18:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Επισης να σημειωθει πως ισχυει (μονο) το αντιστροφο απο αυτο που λεει ο Κριστιανο. Ο χαρτης (R,id) και ο χαρτης (R,f) οπου f:R->R x->x^3 ειναι τοπολογια συμβιβαστοι αλλα οχι διαφορικα.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση Γεωμετρίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Φεβ 2011, 20:37 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 632
Ναι, ορθά...οι εξωτικές σφαίρες...Η γέφυρα με τα ήδη γνωστά απο την Ανάλυση είναι :

1.Παρ’οτι υπάρχουν συνεχείς αλλά μη παραγωγίσιμες συναρτήσεις...μπορούμε με μιά μικρή αλλαγή να «κάνουμε» κάθε συνεχή συνάρτηση παραγωγίσιμη (ομοτοπία)

2.Με τους χάρτες μπορούμε να καλύψουμε την σφαίρα...και να έχουμε συνεχείς αλλαγές συντεταγμένων μεταξύ αυτών (και μάλιστα διαφορίσιμες) ...ώστε ( με τοπικές συντεταγμένες) να χρησιμοποιήσουμε τα εργαλεία τού διαφορικού λογισμού....Όμως θέλουμε και ανεξαρτησία στις συντεταγμένες...η παραγωγισιμότητα να μην εξαρτάται δλδ απο τον συγκεκριμένο χάρτη...Όταν λοιπόν η αλλαγή συντεταγμένων είναι διαφορίσιμη απεικόνιση έχουμε αυτή την ανεξαρτησία...και ο Άτλας που παίρνουμε είναι μιά διαφορική δομή.

Η αναλογία τώρα...Όπως καταφέρνουμε να αλλάζουμε την μορφή τής συνάρτησης και απο συνεχή (μόνο) να παίρνουμε καί παραγωγίσιμη... θα περιμέναμε να το καταφέρνουμε και με τους χάρτες...δλδ κάθε άτλας με συνεχείς αλλαγές συντεταγμένων να γίνεται και Άτλας με διαφορίσιμες ...και να έχουμε τελικά μονοσήμαντη διαφορίσιμη δομή

Όμως δεν γίνεται..ούτε το ένα ούτε το άλλο...το πρώτο παράδειγμα πολλαπλότητας που δεν επιτρέπει διαφορίσιμη δομή το έδωσε ο Kervaire το 1960….και το πρώτο παράδειγμα στην ίδια πολλαπλότητα να έχουμε διαφορετικές διαφορίσιμες δομές ο Milnor το 1956 :

http://www.jstor.org/pss/1969983

Είναι βέβαια φυσικό να ρωτήσουμε : Πόσες τέτοιες εξωτικές σφαίρες υπάρχουν στον πολυδιάστατο χώρο;...δλδ πόσες διαφορίσιμες δομές; Η πρώτη προσπάθεια που πλησίασε πολύ την λύση τού προβλήματος είναι εδώ :

http://www.jstor.org/pss/1970128

(Στο άρθρο τής wikipedia που έδωσε ο φίλος πιό πάνω έχει σχετικό πίνακα μέχρι 20 διαστάσεις)



Όποιος ζητάει περισσσότερα εδώ :

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/exotic.htm

και όποιος λιγότερα εδώ :

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/milnhist.pdf



Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group