forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 13 Δεκ 2017, 11:22

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: χωρος πραγματικών συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Απρ 2009, 21:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 15 Οκτ 2007, 23:59
Δημοσ.: 115
Εστω Χ ένας διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης και || || μια νόρμα στον Χ.
Έστω Χ* ο χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στον Χ.
Να αποδειχθούν τα παρακάτω

α) Για κάθε f ανήκει στον Χ* το sup\{|f(x)|:x\in X,||x||=1\}=sup_{||x||=1}|f(x)|
υπάρχει στο IR και μάλιστα για κάθε f ανήκει στον Χ* ισχύει sup_{||x||=1}|f(x)|=sup_{x\not=0}\frac{|f(x)|}{||x||}

β) Να αποδειχθεί ότι η N με N(f)=sup_{||x||=1}|f(x)|=sup_{x\not=0}\frac{|f(x)|}{||x||}
ορίζει μια νόρμα στον Χ*


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: χωρος πραγματικών συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιούλ 2010, 21:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
α) αφου φ ανηκει Χ* σημαινει οτι η φ ειναι φραγμενη (συνεχης) ισοδυναμα απο θεωρημα υπαρχει Μ>0 ωστε |φ(Β[0,1])|<Μ, δηλαδη |φ(χ)|<Μ για καθε χ με ||χ||=<1 κατ επεκταση (προφανως) |φ(χ)|=<Μ για καθε ||χ||=1 (για καθε χ ανηκει Σ(0,1)). Αρα το συνολο {|φ(χ)| ανηκει R| ||χ||=1} ειναι ανω φραγμενο μη κενο (αφου 0 ανηκει στο συνολο) υποσυνολο του R αρα απο αξιωμα της πληροτητας υπαρχει (οριζεται) supremum.
αφου επισης φ ανηκει Χ* ειναι και γραμμικη αρα αν χ ανηκει Χ με χ<>0 τοτε
{|φ(χ)/||χ||| ανηκει R| χ<>0}={|φ(χ/||χ||)| ανηκει R|χ<>0}={|φ(ψ)| ανηκει R|ψ ανηκει Σ(0,1)}
Στη πρωτη ισοτητα χρησιμοποιηθηκε η γραμμικοτητα και στη δευτερη τεθηκε ψ=χ/||χ||
β) θ.δ.ο Ν=||.|| και αρα Ν νορμα. Εστω φ:Χ->R τυχον φραγμενο γραμμικο συναρτησοειδες.
Προφανως ||.||>=Ν αφου {|φ(χ)| ανηκει R|χ ανηκει Σ(0,1)} υποσυνολο {|φ(χ)| ανηκει R|χ ανηκει Β[0,1]} και αρα το sup του δευτερου ειναι μεγαλυτερο ή ισο του πρωτου. Αφου φ τυχον ισχυει ||.||>=Ν
Αντιστροφα ||.||=<Ν. Αν χ<>0 τοτε |φ(χ/||χ||)|=<Ν(φ) εξ ορισμου. Ομως απο γραμμικοτητα και ιδιοτητες απολυτης τιμης εχουμε οτι |φ(χ)|=<Ν(φ)||χ|| (προφανως Ν(φ)>=0 απο τον ορισμο του). Ομως απο προταση ||φ||=inf{Μ>=0||φ(χ)|=<Μ||χ||} αρα ||φ||=<Ν(φ). Αφου φ τυχον ||.||=<Ν.
Αρα Ν=||.|| και αρα Ν νορμα

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Τελευταία επεξεργασία απο sotmath την 13 Ιούλ 2010, 21:54, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.
Προσπάθησε λίγο να μάθεις Latex σιγά σιγά. Δες τον οδηγό στην αρχή του φόρουμ. Είναι πολύ απλό και έχει εξαιρετικό αποτέλεσμα !!!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group