forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2017, 08:27

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Μία άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Μάιος 2008, 12:26 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 08 Μαρ 2007, 18:59
Δημοσ.: 15
Μια δύσκολη άσκηση που μας είχε βάλει ο κ. Παπάζογλου στην αλγεβρική τοπολογία στην αρχή του εξαμήνου.

Βρείτε δυο τοπολογικούς χώρους Χ , Υ για τους οποίους υπάρχουν συνεχείς , 1-1 και επί απεικονίσεις: f: X--> Y , g: Y--> X αλλά οι Χ , Υ δεν είναι ομοιομορφικοί.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Μάιος 2008, 12:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 27 Οκτ 2006, 14:53
Δημοσ.: 567
Τα αντιπαραδείγματα είναι πάντοτε δύσκολα. Αν ενθυμούμαι καλά, μπορείτε να πάρετε ως Χ την ένωσιν μίας ακολουθίας ξένων ημιανοικτών διαστημάτων και μίας ακολουθίας μεμονωμένων σημείων και ως Υ την ένωσιν μίας ακολουθίας ξένων ανοικτών διαστημάτων και μίας ακολουθίας μεμονωμένων σημείων.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Μάιος 2008, 22:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Πότε είναι 2 τοπολογικοί χώροι ομοιομορφικοί;

Όταν έχουμε μία ΑΜΦΙμονοσήμαντη απεικόνιση μεταξύ τών σημείων των με τήν ακόλουθη ιδιότητα :
Άν κείνται τά σημεία τού ενός χώρου «κοντά» τό ένα στό άλλο, τότε πρέπει και οι εικόνες τους στόν άλλο χώρο να κείνται «κοντά» τό ένα στό άλλο. Τό ίδιο πρέπει όμως να συμβαίνει καί αντίστροφα (από τόν δεύτερο χώρο στόν πρώτο)

Παράδειγμα ομοιομορφισμού :

Ένα τρίγωνο, ένα τετράγωνο καί ένα κύκλος, είναι μεταξύ τους, ανά δύο, ομοιομορφικοί.

Παράδειγμα μή ομοιομορφισμού :

Ζωγράφισε ένα τετράγωνο καί φέρε τίς διαγώνιες. Σβύσε τίς 2 κάθετες πλευρές τού τετραγώνου. Αυτή η «κλεψύθρα» είναι ΜΗ ομοιομορφική πρός τόν κύκλο ή τό τρίγωνο ή τό τετράγωνο.
Γιατί;
Διότι, τό σημείο τομής Τ τών διαγωνίων, δέν μπορεί να απεικονιστεί σέ κανένα σημείο τού τριγώνου ή τού κύκλου ή τού τετραγώνου. Γιά να μπορούσε, θά έπρεπε νά υπάρχει σ’ αυτά τά σχήματα ένα σημείο, απ’ όπου θά διέρχοντο 4 γραμμές.Τέτοιο δέν υπάρχει βέβαια.

Μή ξεχνάς : Ένας ομοιομορφισμός απεικονίζει ανοικτά σύνολα σέ ανοικτά καί κλειστά σύνολα σέ κλειστά.

Άλλο παράδειγμα ΜΗ ομοιομορφισμού επομένως, είναι τό κλειστό ευθύγραμμο τμήμα στό ανοικτό.

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Μάιος 2008, 23:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 27 Οκτ 2006, 14:53
Δημοσ.: 567
Δεν διαβάσατε προσεκτικά το ερώτημα. Δεν υπάρχει συνεχής, 1-1 και επί συνάρτησις από κλειστό διάστημα σε ανοικτό.

Το αντιπαράδειγμα που προτείνω είναι σωστό (και, αναγκαστικά, πιο πολύπλοκο).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Μάιος 2008, 23:24 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Έχετε δίκηο, βιάστηκα πάλι...θά προσπαθήσω τότε να δώσω παράδειγμα :

Εξετάζουμε τόν μοναδιαίο κύκλο {S}^{-1}:=\{x\in \mathbb {R}^2:|x|=1\}\subset \mathbb {R}^2 Τότε η συνάρτηση f:[0,2\pi )\rightarrow {S}^{-1}, που μάς δίδεται από : f(t)=(cos(t),sin(t)) είναι αμφιμονοσήμαντη και συνεχής.

Έστω g={f}^{-1} η αντίστροφη. Τότε : {g}^{-1}([0,1))=f([0,1))\subset {S}^{1}

Όμως τό [0,1)\subset [0,2\pi) είναι ανοικτό, άρα περιοχή τού 0. Όμως τό σύνολο f([0,1)) δέν μπορεί να είναι περιοχή τού f(0)=(1,0), γιατί δέν έχει σημεία κάτω από τόν άξονα y.
Η f είναι συνεχής καί 1-1, αλλά δέν είναι ομοιομορφισμός.


Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Μάιος 2008, 23:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 27 Οκτ 2006, 14:53
Δημοσ.: 567
Ούτε αυτό το ζεύγος είναι σωστό διότι πρέπει να μας βρείτε και συνεχή, 1-1 και επί από την S^1 στο [0,2\pi ). Δεν υπάρχει όμως.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Μάιος 2008, 23:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Ναί, σωστά, ό,τι παραδείγματα και να σκέφτομαι υπάρχει καί ένα "αλλά"...είναι όντως δύσκολο...υποθέτω επειδή οι συνεχείς απεικονίσεις μεταξύ τοπολογικών χώρων έχουν τελείως διαφορετική συμπεριφορά απ' ότι οι γραμμικές απεικονίσεις ή ομοιομορφισμοί όμάδων...

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Μάιος 2008, 17:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Ζητώ συγγνώμη, που διάβασα έτσι βιαστικά τήν άσκηση χθές τό βράδυ....δηλαδή ψάχνουμε γιά χώρους μέ διαφορετικές τοπολογικές ιδιότητες, όπως πχ. μιά ευκλείδεια επί τού [0,1] καί μιά διακριτή επί τού [0,1], όπου έχουμε μέν αμφιμονοσήμαντες απεικονίσεις, αλλά όχι ομοιομορφισμούς.

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μία άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Ιούλ 2010, 21:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group