forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Οκτ 2017, 04:11

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: IR^n=/=IR^m.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Μαρ 2017, 15:42 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 48
Ισχύει ότι o IR^n δεν είναι τοπολογικά ισόμορφος με τον IR^m για n διαφορετικό του m.
Μία απόδειξη για n=1,m=2 είναι η εξής: Έστω f τοπολογικός ισομορφισμός απ'τον IR στον IR^2(f 1-1,επί,συνεχής και f^(-1) συνεχής). Για δεδομένο y τοX(y)= {(x,y):x διατρέχει το IR} είναι συναφές υποσύνολο του IR^2 (αφού είναι ισόμορφο με την πραγματική ευθεία) άρα και η εικόνα του μέσω της f^(-1),που είναι συναφές υποσύνολο του IR, θα είναι είτε ο IR, κάποιο διάστημα του IR ή κάποιο μονοσύνολο του IR. Άν είναι ο IR η f δεν είναι επί,αν πάλι είναι μονοσύνολο η f^(-1) δεν είναι 1-1. Οπότε θα είναι κάποιο διάστημα. Η f είναι 1-1 άρα αυτά τα διαστήματα θα είναι ξένα,όμως το πλήθος των ξένων ανα δύο διαστημάτων του IR είναι το πολύ αριθμίσημο (κάθε διάστημα περιέχει απο έναν ρητό,το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει και για ξένες ανα δύο σφαίρες στον IR^n) και το σύνολο των X(y) είναι υπέραριθμήσιμο πράγμα άτοπο.
Μπορεί με αυτήν την συλλογιστική να αποδειχθεί το ίδιο για κάθε n,m φυσικό? Υπάρχει βέβαια κάποια απόδειξη στο βιβλίο απλά ρωτάω απο περιέργεια. Ευχαριστώ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: IR^n=/=IR^m.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Ιουν 2017, 17:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 374
Έστω f: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n+m} ομοιομορφισμός. Για \tilde{x_0} \in \mathbb{R}^m, θεωρούμε τα σύνολα
Y_{\tilde{x_0}}=\{(x_1, \ldots, x_n, \tilde{x_0}): x_1, \ldots, x_n\in \mathbb{R}\}\subseteq \mathbb{R}^{n+m} καθώς και τα A_{\tilde{x_0}}=f^{-1}(Y_{\tilde{x_0}}) \subseteq \mathbb{R}^n. Για να καταλήξουμε σε άτοπο με τον ίδιο τρόπο όπως και πριν, θα πρέπει να μπορούμε να συμπεράνουμε ότι τα σύνολα A_{\tilde{x_0}} έχουν μη κενό εσωτερικό. Στην περίπτωση του \mathbb{R} αυτό ήταν εύκολο επειδή ξέρουμε ήδη ότι τα συνεκτικά υποσύνολα του \mathbb{R} είναι τα διαστήματα. Για τον \mathbb{R}^{n} για n\geq 2 αντιθέτως, δεν υπάρχει κάποιος παρόμοιος χαρακτηρισμός. Άλλωστε υπάρχουν συνεκτικά υποσύνολα του \mathbb{R}^{n} με κενό εσωτερικό.

Εδω μπορεί κάποιος να παρατηρήσει ότι τα σύνολα A_{\tilde{x_0}} εκτός από συνεκτικά είναι και ομοιομορφικά με τον \mathbb{R}^{n}. Δεν είναι αυτό είναι αρκετό ώστε να συμπεράνεις ότι είναι και ανοικτά στον \mathbb{R}^{n}; Είναι, όμως η απόδειξη δεν είναι εύκολη και στην ουσία πρόκειται για το δύσκολο κομμάτι της απόδειξης ότι \mathbb{R}^n \ncong\mathbb{R}^m.

_________________
Infinite possibilities and all he can do is whine.
You can do anything, you lucky bastard, you're alive! What's a little pain compared to that?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group