forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2017, 19:45

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Σκοινί τυλιγμένο σε κύλινδρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Απρ 2015, 20:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Ποστάρω το εξής ωραίο πρόβλημα : Έχουμε ένα κύλινδρο με μήκος 12 μέτρα και περίμετρο 4 μέτρα και ένα σκοινί που τυλίγεται συμμετρικά γύρω του 4 φορές (Ξεκινάει από τη μία πλευρά και καταλήγει στην άλλη).Πόσο είναι το μήκος του σκοινιού? (Ποστάρω και το λινκ για την κανονική διατύπωση του προβλήματος που έχει και εικόνα με τον κύλινδρο : http://i.kinja-img.com/gawker-media/ima ... xeo9nj.png )

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σκοινί τυλιγμένο σε κύλινδρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Απρ 2015, 14:52 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 16 Οκτ 2008, 10:56
Δημοσ.: 19
Καλησπέρα ! Ωραίο προβληματάκι !

Μια σκέψη που κάνω (χωρίς να είμαι 100% σίγουρος ακόμα) είναι η εξής :

Αφού το σκοινί είναι συμμετρικά τυλιγμένο 4 φορές, μπορούμε να "κόψουμε" τον κύλινδρο σε 4 ίσα κομμάτια, ακριβώς στα σημεία που το σκοινί ολοκληρώνει μια πλήρη περιστροφή κάθε φορά.
Αν μετά "ξεδιπλώσουμε" το καθένα από αυτά τα κυλινδρικά κομμάτια, θα έχουμε ουσιαστικά 4 ορθογώνια (πλευρών 4x3) όπου το σκοινί (έστω x) θα είναι η διαγώνιος στο καθένα...Με ένα απλό Πυθαγόρειο βρίσκουμε x = 5 και επειδή έχουμε 4 ορθογώνια, το συνολικό μήκος του σκοινιού θα είναι 20m...!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σκοινί τυλιγμένο σε κύλινδρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Απρ 2015, 19:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
Μια πιο funky λύση βασισμένη στην λογική ότι "όποιος δεν έχει μυαλό, έχει πόδια":

Θα θεωρήσω την παραμετρική καμπύλη \gamma (t) = ( rcost , rsint , bt) ως μοντέλο του προβλήματος, όπου τα r,b θα προσδιοριστούν από τα δοθέντα στοιχεία. Είναι λοιπόν 2 \pi r = 4 \implies r = \frac{2}{\pi} (σε μέτρα), και αφού η τέταρτη στροφή ολοκληρώνεται στα 12 μέτρα, έχουμε ότι b \cdot 4 \cdot 2 \pi = 12 \implies b = \frac{3}{2 \pi} (σε μέτρα επίσης). Το μήκος υπολογίζεται ως \int_{t=0}^{8 \pi} \sqrt{r^2 + b^2} dt, το οποίο είναι 8 \pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2} ( 4 + \frac{9}{4} )}, δηλαδή πράγματι 20 μέτρα! :)

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σκοινί τυλιγμένο σε κύλινδρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Απρ 2015, 20:07 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Και οι είναι σωστές λύσεις και προφανώς του diapsiquir είναι η απόδειξη ότι το 20 είναι πράγματι σωστό.

Εγώ για την απόδειξη ότι το 20 είναι λύση είχα κάνει μία σκέψη η οποία πάνω κάτω θα χρησιμοποιούσε την 1η θεμελιώδη μορφή (Αλλά επειδή ψιλοβαριόμουν δεν την ήλεγξα ποτέ αν ίσχυε :P ) .Πάνω κάτω πάει ως εξής :
1)Δουλεύουμε στο 1/8 του κυλίνδρου άρα έχουμε ότι το σκοινί κάνει μισή περιστροφή
2)Αν τώρα προβάλλουμε την καμπύλη που διαγράφει σε ένα επίπεδο μπορούμε να βρούμε τρίγωνο (Με μία πλευρά την προβολή της μισής βάσης του κυλίνδρου,κάθετη σε αυτή πλευρά το 1/8*12 του κυλίνδρου και την τρίτη πλευρά την προβολή του σκοινιού στο επίπεδο που ορίζουν οι 2 άλλες πλευρές
3)Άρα θέλουμε να υπολογίσουμε την υποτείνουσα και μετά να την ξαναπροβάλλουμε στην επιφάνεια (κύλινδρο) .Από τη Διαφορική γεωμετρία ξέρουμε ότι αν ξέρουμε την 1η θεμελιώδη μορφή της επιφάνειας, τότε γνωρίζοντας το μήκος της καμπύλης στο χάρτη, μπορούμε να βρούμε το μήκος της καμπύλης στην επιφάνεια.Το μήκος της καμπύλης στο χάρτη το ξέρουμε (υποτείνουσα του τριγώνου), τα E,F,G τα ξέρουμε άρα μπορούμε να βρούμε το μήκος του σκοινιού το οποίο (λογικά πάντα !) θα έβγαινε 20.

Αν δουλεύει αυτή η "απόδειξη" τότε μπορούμε να βρούμε μήκος σκοινιού και σε γενικότερες επιφάνειες!

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group