forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 22 Σεπ 2017, 06:22

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Κατα μονοπατια συνεκτικος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Οκτ 2014, 22:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 299
Ενας τοπολογικος χωρος X λεγεται κατα μονοπατια συνεκτικος αν για καθε x,y \in X υπαρχει συνεχης απεικονιση a:[0,1] \to X ωστε a(0)=x και a(1)=y.
Αποδειξτε οτι αν (X_a)_{a \in A} οικογενεια κατα μονοπατια συνεκτικων τοπολογικων χωρων τοτε o \prod_{a \in A}X_a ειναι κατα μονοπατια συνεκτικος.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κατα μονοπατια συνεκτικος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Οκτ 2014, 22:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 22 Σεπ 2012, 18:06
Δημοσ.: 480
Τοποθεσια: Pasadena, CA
http://math.stackexchange.com/questions ... -connected

_________________
ΒΓΑΛΤΕ ΠΙΑ ΤΑ ΓΥΑΛΙΑ ΗΛΙΟΥ ΟΤΑΝ ΜΠΑΙΝΕΤΕ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κατα μονοπατια συνεκτικος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Οκτ 2014, 23:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
stranger έγραψε:
Ενας τοπολογικος χωρος X λεγεται κατα μονοπατια συνεκτικος αν για καθε x,y \in X υπαρχει συνεχης απεικονιση a:[0,1] \to X ωστε a(0)=x και a(1)=y.
Αποδειξτε οτι αν (X_a)_{a \in A} οικογενεια κατα μονοπατια συνεκτικων τοπολογικων χωρων τοτε o \prod_{a \in A}X_a ειναι κατα μονοπατια συνεκτικος.

Έστω (x_a)_{a \in A}, (y_a)_{a \in A} δύο σημεία στον χώρο γινόμενο. Τώρα, είναι γνωστό ότι μια συνάρτηση με πεδίο τιμών έναν χώρο γινόμενο είναι συνεχής αν και μόνο αν είναι συνεχής κατά συντεταγμένη. Έτσι, για κάθε a \in A ορίζουμε g_a: [0,1] \rightarrow X_a μονοπάτι με g_a(0) = x_a , g_a(1)=y_a, που γίνεται επειδή οι X_a είναι κατά μονοπάτια συνεκτικοί. Ορίζουμε τώρα g: [0,1] \rightarrow \prod_{a \in A}X_a με g(t) = (g_a(t)) (απαίσιος συμβολισμός) και τότε η g είναι συνεχής με g(0)=(x_a), g(1)=(y_a) αφού είναι συνεχής κατά συντεταγμένη. Άρα κάθε σημείο του γινομένου ενώνεται με μονοπάτι με κάθε άλλο στοιχείο του γινομένου, όπως και θέλαμε.

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κατα μονοπατια συνεκτικος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Οκτ 2014, 05:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 299
Μια αλλη ωραια ασκηση ειναι να αποδειξεις αυτο που χρησιμοποιησες ως δεδομενο.Οτι δηλαδη μια συναρτηση με πεδιο τιμων ενα γινομενο ειναι συνεχης αν ειναι συνεχης κατα συντεταγμενη.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κατα μονοπατια συνεκτικος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Οκτ 2014, 15:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
Αυτό εγώ το θεωρώ θεώρημα και όχι άσκηση, πάντως από μια άποψη όλη η γενική τοπολογία είναι μια ωραία άσκηση :)
(βγαίνει πάντως από το ότι η τοπολογία γινόμενο είναι η τοπολογία της κατά σημείο σύγκλισης)

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κατα μονοπατια συνεκτικος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Οκτ 2014, 01:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 299
Ενα αλλο ωραιο προβληματακι ειναι το εξης: Εστω X = \bigcup X_i και \bigcap X_i \neq \emptyset οπου καθε X_i ειναι συνεκτικο.Αποδειξτε οτι ο X ειναι συνεκτικος.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Κατα μονοπατια συνεκτικος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Οκτ 2014, 06:39 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 299
Μιας και δεν εχει απαντησει κανενας θα ποσταρω εγω τη λυση.
Εστω X=\bigcup_{i \in I}X_i οπου X_i συνεκτικο \forall i \in I και \bigcap_{i \in I}X_i \neq \emptyset.Εστω A,B ανοιχτα υποσυνολα του X ωστε X=A \cup B και A \cap B = \emptyset.Θα δειξω οτι A = \emptyset η B = \emptyset. Tα A \cap X_i , B \cap X_i ειναι ανοιχτα υποσυνολα του X_i \forall i \in I.Επιπλεον \forall i \in I X_i = (A \cap X_i) \cup (B \cap X_i) και (A \cap X_i) \cap (B \cap X_i) = \emptyset.Ομως το X_i ειναι συνεκτικο.Αρα [\forall i \in I](A \cap X_i = \emptyset η B \cap X_i = \emptyset).Τωρα εχουμε \bigcap_{i \in I}X_i \neq \emptyset.Εστω καποιο x \in \bigcap_{i \in I}X_i.Tοτε x \in X συνεπως x \in A η x \in B.Αν x \in A εχουμε x \in A \cap X_i \forall i \in I συνεπως A \cap X_i \neq \emptyset \forall i \in I.Αρα B \cap X_i = \emptyset \forall i \in I.Ομως B = \bigcup_{i \in I}(B \cap X_i).Αρα B = \emptyset.Αν x \in B ομοιως αποδεικνυουμε οτι A = \emptyset.Αρα ο X ειναι συνεκτικος.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group